Страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

240. Вычислите площадь заштрихованной фигуры (рис. 58), если длина стороны клетки равна $a$.

Рис. 58

а

б

а

Площадь заштрихованной фигуры можно найти, вычтя из площади большого квадрата суммарную площадь четырех маленьких кругов.

1. Найдем площадь большого квадрата. Длина его стороны составляет 6 клеток, то есть $6a$. Площадь квадрата: $S_{квадрата} = (6a)^2 = 36a^2$.

2. Найдем площадь одного маленького круга. Диаметр каждого круга равен 2 клеткам, то есть $2a$. Следовательно, радиус круга $r$ равен $a$. Площадь одного круга: $S_{круга} = \pi r^2 = \pi a^2$.

3. Найдем суммарную площадь четырех кругов: $S_{4кругов} = 4 \cdot S_{круга} = 4\pi a^2$.

4. Вычислим площадь заштрихованной фигуры: $S_{фигуры} = S_{квадрата} - S_{4кругов} = 36a^2 - 4\pi a^2 = 4a^2(9 - \pi)$.

Ответ: $4a^2(9 - \pi)$.

б

Площадь заштрихованной фигуры равна площади большого круга за вычетом площадей незаштрихованных фигур внутри него (двух квадратов, треугольника и прямоугольника).

1. Найдем площадь большого круга. Его диаметр равен 6 клеткам, то есть $6a$. Следовательно, его радиус $R$ равен $3a$. Площадь большого круга: $S_{большого круга} = \pi R^2 = \pi (3a)^2 = 9\pi a^2$.

2. Найдем суммарную площадь вырезанных фигур:

• Два квадрата ("глаза"): каждый со стороной $a$. Их суммарная площадь: $S_{2квадратов} = 2 \cdot a^2 = 2a^2$.
• Треугольник ("нос"): основание равно $2a$, высота - $a$. Его площадь: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a = a^2$.
• Прямоугольник ("рот"): стороны равны $3a$ и $a$. Его площадь: $S_{прямоугольника} = 3a \cdot a = 3a^2$.

3. Общая площадь вырезанных фигур: $S_{вырезанных} = S_{2квадратов} + S_{треугольника} + S_{прямоугольника} = 2a^2 + a^2 + 3a^2 = 6a^2$.

4. Вычислим площадь заштрихованной фигуры: $S_{фигуры} = S_{большого круга} - S_{вырезанных} = 9\pi a^2 - 6a^2 = 3a^2(3\pi - 2)$.

Ответ: $3a^2(3\pi - 2)$.

241. Продаются блинчики двух видов: диаметром 30 см и 20 см. Если толщина всех блинчиков одинакова, то в каком случае покупатель съест больше: когда съест один большой блинчик или два меньших?

Чтобы определить, в каком случае покупатель съест больше, необходимо сравнить объемы съедаемых блинчиков. Так как по условию толщина всех блинчиков одинакова, задача сводится к сравнению площадей их поверхностей. Блинчики имеют форму круга, площадь которого вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — это радиус. Радиус, в свою очередь, равен половине диаметра ($r = d/2$).

1. Найдем площадь одного большого блинчика.
Диаметр большого блинчика $d_1 = 30$ см. Его радиус $r_1 = d_1 / 2 = 30 / 2 = 15$ см. Площадь большого блинчика: $S_1 = \pi \cdot r_1^2 = \pi \cdot 15^2 = 225\pi$ см².

2. Найдем общую площадь двух меньших блинчиков.
Диаметр одного меньшего блинчика $d_2 = 20$ см. Его радиус $r_2 = d_2 / 2 = 20 / 2 = 10$ см. Площадь одного меньшего блинчика: $S_2 = \pi \cdot r_2^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см². Так как покупатель съедает два таких блинчика, их общая площадь будет: $S_{общ} = 2 \cdot S_2 = 2 \cdot 100\pi = 200\pi$ см².

3. Сравним полученные площади.
Площадь одного большого блинчика равна $225\pi$ см², а общая площадь двух меньших — $200\pi$ см². Сравниваем значения: $225\pi > 200\pi$ Следовательно, площадь одного большого блинчика больше, чем суммарная площадь двух меньших.

Ответ: Покупатель съест больше, когда съест один большой блинчик.

242. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$.

Для нахождения длины окружности $C$ используется формула $C = 2\pi R$, где $R$ — это радиус окружности. Следовательно, задача сводится к нахождению радиуса окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$.

Радиус $R$ описанной около правильного многоугольника окружности связан с его стороной $a$ и числом сторон $n$ формулой:

$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$

Для правильного треугольника число сторон $n=3$. Подставим это значение в формулу:

$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{3})} = \frac{a}{2 \sin(60^\circ)}$

Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим его в выражение для радиуса:

$R = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Теперь мы можем найти длину окружности, подставив найденное значение радиуса $R$ в формулу $C = 2\pi R$:

$C = 2\pi \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi a}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$C = \frac{2\pi a \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}$

243. Найдите длину окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$.

Пусть дан квадрат со стороной $a$. Окружность, вписанная в квадрат, касается всех его четырех сторон. Из этого следует, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.

Обозначим диаметр окружности буквой $d$. Тогда мы имеем соотношение:
$d = a$

Длина окружности $C$ (circumference) вычисляется по формуле, которая связывает её с диаметром:
$C = \pi d$

Подставим в эту формулу значение диаметра $d = a$:
$C = \pi a$

Таким образом, длина окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$, равна $\pi a$.

Ответ: $\pi a$

244. Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной $a$.

Пусть нам дан квадрат со стороной $a$. Около этого квадрата описан круг, площадь которого нам необходимо найти.

Если круг описан около квадрата, это означает, что все четыре вершины квадрата лежат на окружности этого круга. В этом случае диагональ квадрата является диаметром описанного круга.

Сначала найдем длину диагонали квадрата. Обозначим диагональ буквой $d$. Диагональ делит квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника, катетами которых являются стороны квадрата $a$, а гипотенузой — сама диагональ $d$.

По теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Отсюда находим длину диагонали:

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Так как диагональ квадрата является диаметром описанного круга, то радиус круга $R$ будет равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы можем найти площадь круга $S$ по стандартной формуле $S = \pi R^2$. Подставим в нее найденное значение радиуса $R$:

$S = \pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{(a\sqrt{2})^2}{2^2} = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{4} = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$

Таким образом, площадь круга, описанного около квадрата со стороной $a$, равна $\frac{\pi a^2}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{2}$

245. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной $a$.

Для того чтобы найти площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник, необходимо сначала определить радиус этого круга.

Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести равносторонних треугольников, стороны которых также равны $a$. Центр вписанного круга совпадает с центром шестиугольника.

Радиус вписанного круга, обозначим его $r$, является апофемой шестиугольника. Апофема — это перпендикуляр, опущенный из центра правильного многоугольника на одну из его сторон. В нашем случае это высота одного из шести равносторонних треугольников.

Рассмотрим один такой равносторонний треугольник со стороной $a$. Его высота $r$ делит его на два прямоугольных треугольника. В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенуза равна $a$ (сторона равностороннего треугольника), один катет равен $r$ (высота), а второй катет равен половине основания, то есть $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора для одного из этих прямоугольных треугольников имеем:

$r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$

Выразим отсюда $r^2$:

$r^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$

$r^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}$

$r^2 = \frac{3a^2}{4}$

Теперь, когда мы нашли квадрат радиуса, можем вычислить площадь круга $S$ по формуле $S = \pi r^2$:

$S = \pi \cdot \frac{3a^2}{4}$

Ответ: $\frac{3\pi a^2}{4}$

246. Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной $a$.

Для нахождения площади круга, вписанного в правильный треугольник, необходимо сначала определить радиус этого круга. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — это радиус.

Пусть сторона правильного (равностороннего) треугольника равна $a$. Радиус вписанной в него окружности можно найти через сторону треугольника. Центр вписанной окружности в правильном треугольнике является точкой пересечения его высот, медиан и биссектрис.

Высота $h$ в правильном треугольнике со стороной $a$ может быть найдена, например, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, стороной и половиной другой стороны:

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Точка пересечения медиан (которая в данном случае совпадает с центром вписанной окружности) делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности $r$ равен длине меньшего отрезка, то есть $1/3$ от всей высоты:

$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Теперь, зная радиус, мы можем вычислить площадь круга:

$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{6^2} = \pi \cdot \frac{3a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{12}$

247. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами $a$ и $b$.

Круг, описанный около прямоугольника, проходит через все его вершины. Диаметр такого круга равен диагонали прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Найдем его диагональ d, используя теорему Пифагора, где стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

$d^2 = a^2 + b^2$

Следовательно, диагональ равна:

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Диаметр D описанного круга равен диагонали прямоугольника, то есть $D = d$. Радиус круга R равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Площадь круга S вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Подставим найденное выражение для радиуса в эту формулу:

$S = \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2 + b^2}{4}$

Ответ: $\pi \frac{a^2 + b^2}{4}$

248. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с боковой стороной $b$ и углом $\alpha$ при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны $b$, а углы при основании равны $\alpha$.

Площадь круга, описанного около треугольника, вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ - радиус описанной окружности.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:$ \frac{a}{\sin A} = 2R $

В данном равнобедренном треугольнике мы имеем боковую сторону длиной $b$. Угол, противолежащий этой боковой стороне, является одним из углов при основании, и его величина равна $\alpha$.

Применим теорему синусов к боковой стороне $b$ и противолежащему ей углу $\alpha$:$ \frac{b}{\sin \alpha} = 2R $

Из этого соотношения выразим радиус описанной окружности $R$:$ R = \frac{b}{2 \sin \alpha} $

Теперь, зная радиус, мы можем найти площадь описанного круга, подставив полученное выражение в формулу площади:$ S = \pi R^2 = \pi \left( \frac{b}{2 \sin \alpha} \right)^2 = \pi \frac{b^2}{4 \sin^2 \alpha} $

Ответ: $S = \frac{\pi b^2}{4 \sin^2 \alpha}$.

249. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника со стороной $a$ и углом $\alpha$ между данной стороной и диагональю прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник со стороной $a$ и диагональю $d$. Угол между этой стороной и диагональю равен $\alpha$.

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной около него окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $a$, смежной с ней стороной и диагональю $d$. В этом треугольнике сторона $a$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, а диагональ $d$ — гипотенузой.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\alpha) = \frac{a}{d}$

Отсюда можем выразить диагональ $d$, которая также является диаметром описанной окружности:

$d = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = \pi d$, где $d$ — диаметр окружности.

Подставим найденное значение диаметра в формулу длины окружности:

$L = \pi \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{\pi a}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a}{\cos(\alpha)}$

250. Радиус окружности равен 8 см. Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна: 1) $4^\circ$; 2) $320^\circ$.

Для нахождения длины дуги окружности используется формула:

$L = \frac{2\pi R \alpha}{360^\circ}$

где $L$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги.

По условию, радиус окружности $R = 8$ см.

1)

Найдем длину дуги, градусная мера которой равна $\alpha = 4^\circ$.

Подставим значения в формулу:

$L = \frac{2 \pi \cdot 8 \cdot 4}{360} = \frac{64\pi}{360}$

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8:

$L = \frac{64\pi \div 8}{360 \div 8} = \frac{8\pi}{45}$ см.

Ответ: $\frac{8\pi}{45}$ см.

2)

Найдем длину дуги, градусная мера которой равна $\alpha = 320^\circ$.

Подставим значения в формулу:

$L = \frac{2 \pi \cdot 8 \cdot 320}{360} = \frac{16\pi \cdot 320}{360}$

Сократим дробь $\frac{320}{360}$, разделив числитель и знаменатель на 40:

$\frac{320}{360} = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}$

Тогда длина дуги равна:

$L = 16\pi \cdot \frac{8}{9} = \frac{128\pi}{9}$ см.

Ответ: $\frac{128\pi}{9}$ см.

251. Длина дуги окружности равна $12\pi$ см, а её градусная мера – $27^\circ$. Найдите радиус окружности.

Для решения задачи воспользуемся формулой длины дуги окружности:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}}$

где $L$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги.

Из условия нам известно, что $L = 12\pi$ см и $\alpha = 27^{\circ}$. Подставим эти значения в формулу:

$12\pi = \frac{\pi \cdot R \cdot 27}{180}$

Чтобы найти радиус $R$, выразим его из этого уравнения. Сначала разделим обе части уравнения на $\pi$:

$12 = \frac{27 \cdot R}{180}$

Теперь выразим $R$:

$R = \frac{12 \cdot 180}{27}$

Сократим дробь. Числа 12 и 27 делятся на 3, а числа 180 и 27 делятся на 9. Удобнее сократить 27 и 180 на 9:

$R = \frac{12 \cdot (180 \div 9)}{27 \div 9} = \frac{12 \cdot 20}{3}$

Теперь сократим 12 и 3:

$R = \frac{(12 \div 3) \cdot 20}{1} = 4 \cdot 20 = 80$

Таким образом, радиус окружности равен 80 см.

Ответ: 80 см.