Номер 240, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

240. Вычислите площадь заштрихованной фигуры (рис. 58), если длина стороны клетки равна $a$.

Рис. 58

а

б

а

Площадь заштрихованной фигуры можно найти, вычтя из площади большого квадрата суммарную площадь четырех маленьких кругов.

1. Найдем площадь большого квадрата. Длина его стороны составляет 6 клеток, то есть $6a$. Площадь квадрата: $S_{квадрата} = (6a)^2 = 36a^2$.

2. Найдем площадь одного маленького круга. Диаметр каждого круга равен 2 клеткам, то есть $2a$. Следовательно, радиус круга $r$ равен $a$. Площадь одного круга: $S_{круга} = \pi r^2 = \pi a^2$.

3. Найдем суммарную площадь четырех кругов: $S_{4кругов} = 4 \cdot S_{круга} = 4\pi a^2$.

4. Вычислим площадь заштрихованной фигуры: $S_{фигуры} = S_{квадрата} - S_{4кругов} = 36a^2 - 4\pi a^2 = 4a^2(9 - \pi)$.

Ответ: $4a^2(9 - \pi)$.

б

Площадь заштрихованной фигуры равна площади большого круга за вычетом площадей незаштрихованных фигур внутри него (двух квадратов, треугольника и прямоугольника).

1. Найдем площадь большого круга. Его диаметр равен 6 клеткам, то есть $6a$. Следовательно, его радиус $R$ равен $3a$. Площадь большого круга: $S_{большого круга} = \pi R^2 = \pi (3a)^2 = 9\pi a^2$.

2. Найдем суммарную площадь вырезанных фигур:

• Два квадрата ("глаза"): каждый со стороной $a$. Их суммарная площадь: $S_{2квадратов} = 2 \cdot a^2 = 2a^2$.
• Треугольник ("нос"): основание равно $2a$, высота - $a$. Его площадь: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a = a^2$.
• Прямоугольник ("рот"): стороны равны $3a$ и $a$. Его площадь: $S_{прямоугольника} = 3a \cdot a = 3a^2$.

3. Общая площадь вырезанных фигур: $S_{вырезанных} = S_{2квадратов} + S_{треугольника} + S_{прямоугольника} = 2a^2 + a^2 + 3a^2 = 6a^2$.

4. Вычислим площадь заштрихованной фигуры: $S_{фигуры} = S_{большого круга} - S_{вырезанных} = 9\pi a^2 - 6a^2 = 3a^2(3\pi - 2)$.

Ответ: $3a^2(3\pi - 2)$.