Номер 239, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

239. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 57.

Рис. 57

а

б

в

а

Для вычисления площади заштрихованной фигуры воспользуемся методом сложения площадей. Фигура представляет собой пересечение двух круговых секторов, каждый из которых является четвертью круга радиусом $a$. Будем считать, что центры этих секторов находятся в двух противоположных углах квадрата (например, в левом нижнем и правом верхнем). В этом случае объединение двух секторов покрывает весь квадрат.

Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S_{кв} = a^2$.

Площадь одного сектора (четверти круга) с радиусом $a$ равна $S_{сект} = \frac{1}{4}\pi a^2$.

Сумма площадей двух таких секторов составляет $S_{сумм} = 2 \cdot S_{сект} = 2 \cdot \frac{1}{4}\pi a^2 = \frac{1}{2}\pi a^2$.

Когда мы складываем площади этих двух секторов, площадь их пересечения (искомая заштрихованная область $S_{заштр}$) учитывается дважды, в то время как остальная часть квадрата — по одному разу. Таким образом, сумма площадей двух секторов равна площади квадрата плюс площадь их пересечения:

$S_{сумм} = S_{кв} + S_{заштр}$

Подставим известные значения в это уравнение:

$\frac{1}{2}\pi a^2 = a^2 + S_{заштр}$

Выразим отсюда площадь заштрихованной фигуры:

$S_{заштр} = \frac{1}{2}\pi a^2 - a^2 = a^2(\frac{\pi}{2} - 1)$.

Ответ: $S = a^2(\frac{\pi}{2} - 1)$

б

Заштрихованная фигура расположена в центре квадрата со стороной $a$. Её можно найти, вычтя из площади всего квадрата площади четырёх незаштрихованных угловых областей.

Каждая из четырёх незаштрихованных областей в углах представляет собой сектор круга (четверть круга). Центр каждого сектора совпадает с вершиной квадрата, а радиус равен половине стороны квадрата, то есть $r = \frac{a}{2}$.

Площадь одного такого сектора равна:

$S_{сект} = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4}\pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{4}\pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{16}$.

Общая площадь четырёх незаштрихованных секторов равна:

$S_{незаштр} = 4 \cdot S_{сект} = 4 \cdot \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{4}$.

Площадь квадрата равна $S_{кв} = a^2$.

Площадь заштрихованной фигуры — это разность площади квадрата и общей площади незаштрихованных секторов:

$S_{заштр} = S_{кв} - S_{незаштр} = a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2(1 - \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $S = a^2(1 - \frac{\pi}{4})$

в

Заштрихованная фигура (арбелос) представляет собой область, полученную вычитанием площадей двух малых полукругов из площади одного большого полукруга.

Диаметр большого полукруга равен $a$, значит, его радиус $R = \frac{a}{2}$.

Площадь большого полукруга:

$S_{больш} = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{2}\pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$.

Два малых полукруга имеют одинаковый размер. Сумма их диаметров равна диаметру большого полукруга $a$, поэтому диаметр каждого малого полукруга равен $d = \frac{a}{2}$, а их радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{a}{4}$.

Площадь одного малого полукруга:

$S_{мал} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{a}{4})^2 = \frac{1}{2}\pi \frac{a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{32}$.

Общая площадь двух малых полукругов:

$S_{2мал} = 2 \cdot S_{мал} = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{32} = \frac{\pi a^2}{16}$.

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади большого полукруга и суммарной площади двух малых:

$S_{заштр} = S_{больш} - S_{2мал} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{\pi a^2}{16} = \frac{2\pi a^2}{16} - \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{16}$.

Ответ: $S = \frac{\pi a^2}{16}$