Страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

236. Самый большой оптический телескоп (рефлектор) в России находится в горах Западного Кавказа (Архыз). Диаметр обода его зеркала равен 6 м. Самый большой в мире оптический телескоп находится в обсерватории Калифорнийского университета на Гавайях (США). Диаметр обода его зеркала составляет 10 м. Найдите отношение длин ободов зеркал российского и американского телескопов.

Для решения этой задачи необходимо найти отношение длин ободов зеркал российского и американского телескопов. Обод зеркала представляет собой окружность, а его длина равна длине этой окружности.

Длина окружности ($C$) вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — ее диаметр.

Пусть $d_{р}$ — диаметр обода зеркала российского телескопа, а $d_{а}$ — диаметр обода зеркала американского телескопа.
Согласно условию:
$d_{р} = 6$ м
$d_{а} = 10$ м

Найдем длины ободов (окружностей):
Длина обода российского телескопа: $C_{р} = \pi \cdot d_{р} = 6\pi$ м.
Длина обода американского телескопа: $C_{а} = \pi \cdot d_{а} = 10\pi$ м.

Теперь найдем отношение длины обода российского телескопа к длине обода американского:
$\frac{C_{р}}{C_{а}} = \frac{6\pi}{10\pi}$

Мы можем сократить $\pi$ в числителе и знаменателе, так как отношение длин окружностей равно отношению их диаметров:
$\frac{C_{р}}{C_{а}} = \frac{d_{р}}{d_{а}} = \frac{6}{10}$

Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Это отношение также можно представить в виде десятичной дроби: $0,6$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

237. Вычислите длину красной линии, изображённой на рисунке 56б.

Рис. 56

а

б

Красная линия на рисунке 56б представляет собой границу фигуры, состоящей из центрального квадрата со стороной $a$ и четырех полуокружностей, построенных на каждой из его сторон как на диаметре.

Длина всей красной линии равна сумме длин четырех полуокружностей.

Длина окружности вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ – диаметр.

В данном случае диаметр каждой полуокружности равен стороне квадрата, то есть $d = a$.

Длина одной полуокружности составляет половину длины полной окружности:

$L_{полуокружности} = \frac{1}{2} \pi d = \frac{1}{2} \pi a$

Так как фигура имеет четыре такие полуокружности, общая длина красной линии $L$ будет равна:

$L = 4 \times L_{полуокружности} = 4 \times \frac{1}{2} \pi a = 2 \pi a$

Ответ: $2 \pi a$

238. Северный полярный круг пересекает границы России в точках, восточная долгота которых равна $29^\circ$ и $169^\circ$. Найдите длину дуги Северного полярного круга, принадлежащую России, если с точностью до сотен километров длина окружности Северного полярного круга равна 15 900 км. Ответ округлите с точностью до сотен километров.

Для того чтобы найти длину дуги Северного полярного круга, принадлежащую России, необходимо выполнить несколько шагов: определить угловую меру этой дуги, а затем, зная полную длину окружности, вычислить искомую длину дуги и округлить результат.

1. Определение угловой меры дуги

Северный полярный круг представляет собой окружность, на которой долгота меняется от $0^\circ$ до $360^\circ$. Территория России на этой параллели заключена между двумя точками с восточной долготой $29^\circ$ и $169^\circ$. Угловая мера дуги, проходящей по территории России, равна разности этих долгот:

$\alpha = 169^\circ - 29^\circ = 140^\circ$

2. Расчет длины дуги

Длина всей окружности Северного полярного круга ($C$) составляет $15\,900$ км, что соответствует полному углу в $360^\circ$. Длина дуги ($L$) пропорциональна её угловой мере. Для нахождения длины дуги воспользуемся пропорцией:

$L = C \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$

Подставим в формулу известные значения:

$L = 15\,900 \text{ км} \cdot \frac{140^\circ}{360^\circ}$

Упростим дробь $\frac{140}{360}$:

$\frac{140}{360} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$

Теперь вычислим длину дуги:

$L = 15\,900 \cdot \frac{7}{18} = \frac{111\,300}{18} \approx 6183,33 \text{ км}$

3. Округление результата

Согласно условию задачи, ответ необходимо округлить с точностью до сотен километров. В полученном значении $6183,33$ км цифра в разряде сотен равна 1, а следующая за ней цифра в разряде десятков — 8. Так как $8 \geq 5$, то разряд сотен нужно увеличить на единицу (округлить в большую сторону).

$6183,33 \text{ км} \approx 6200 \text{ км}$

Ответ: 6200 км.

239. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 57.

Рис. 57

а

б

в

а

Для вычисления площади заштрихованной фигуры воспользуемся методом сложения площадей. Фигура представляет собой пересечение двух круговых секторов, каждый из которых является четвертью круга радиусом $a$. Будем считать, что центры этих секторов находятся в двух противоположных углах квадрата (например, в левом нижнем и правом верхнем). В этом случае объединение двух секторов покрывает весь квадрат.

Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S_{кв} = a^2$.

Площадь одного сектора (четверти круга) с радиусом $a$ равна $S_{сект} = \frac{1}{4}\pi a^2$.

Сумма площадей двух таких секторов составляет $S_{сумм} = 2 \cdot S_{сект} = 2 \cdot \frac{1}{4}\pi a^2 = \frac{1}{2}\pi a^2$.

Когда мы складываем площади этих двух секторов, площадь их пересечения (искомая заштрихованная область $S_{заштр}$) учитывается дважды, в то время как остальная часть квадрата — по одному разу. Таким образом, сумма площадей двух секторов равна площади квадрата плюс площадь их пересечения:

$S_{сумм} = S_{кв} + S_{заштр}$

Подставим известные значения в это уравнение:

$\frac{1}{2}\pi a^2 = a^2 + S_{заштр}$

Выразим отсюда площадь заштрихованной фигуры:

$S_{заштр} = \frac{1}{2}\pi a^2 - a^2 = a^2(\frac{\pi}{2} - 1)$.

Ответ: $S = a^2(\frac{\pi}{2} - 1)$

б

Заштрихованная фигура расположена в центре квадрата со стороной $a$. Её можно найти, вычтя из площади всего квадрата площади четырёх незаштрихованных угловых областей.

Каждая из четырёх незаштрихованных областей в углах представляет собой сектор круга (четверть круга). Центр каждого сектора совпадает с вершиной квадрата, а радиус равен половине стороны квадрата, то есть $r = \frac{a}{2}$.

Площадь одного такого сектора равна:

$S_{сект} = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4}\pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{4}\pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{16}$.

Общая площадь четырёх незаштрихованных секторов равна:

$S_{незаштр} = 4 \cdot S_{сект} = 4 \cdot \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{4}$.

Площадь квадрата равна $S_{кв} = a^2$.

Площадь заштрихованной фигуры — это разность площади квадрата и общей площади незаштрихованных секторов:

$S_{заштр} = S_{кв} - S_{незаштр} = a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2(1 - \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $S = a^2(1 - \frac{\pi}{4})$

в

Заштрихованная фигура (арбелос) представляет собой область, полученную вычитанием площадей двух малых полукругов из площади одного большого полукруга.

Диаметр большого полукруга равен $a$, значит, его радиус $R = \frac{a}{2}$.

Площадь большого полукруга:

$S_{больш} = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{2}\pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$.

Два малых полукруга имеют одинаковый размер. Сумма их диаметров равна диаметру большого полукруга $a$, поэтому диаметр каждого малого полукруга равен $d = \frac{a}{2}$, а их радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{a}{4}$.

Площадь одного малого полукруга:

$S_{мал} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{a}{4})^2 = \frac{1}{2}\pi \frac{a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{32}$.

Общая площадь двух малых полукругов:

$S_{2мал} = 2 \cdot S_{мал} = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{32} = \frac{\pi a^2}{16}$.

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади большого полукруга и суммарной площади двух малых:

$S_{заштр} = S_{больш} - S_{2мал} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{\pi a^2}{16} = \frac{2\pi a^2}{16} - \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{16}$.

Ответ: $S = \frac{\pi a^2}{16}$