Страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

269. Отрезок $AB$ разбили на $n$ отрезков. На каждом из них как на диаметре построили полуокружность. Это действие повторили, разбив данный отрезок на $m$ отрезков. Найдите отношение сумм длин полуокружностей, полученных в первом и втором случаях.

Пусть длина исходного отрезка $AB$ равна $L$.

Рассмотрим первый случай, когда отрезок $AB$ разбит на $n$ отрезков. Обозначим длины этих отрезков как $l_1, l_2, \ldots, l_n$. Сумма длин этих маленьких отрезков равна длине всего отрезка $AB$: $$l_1 + l_2 + \ldots + l_n = \sum_{i=1}^{n} l_i = L$$ Длина полуокружности с диаметром $d$ вычисляется по формуле $C = \frac{\pi d}{2}$. На каждом отрезке $l_i$ как на диаметре построена полуокружность. Найдем сумму длин $S_n$ всех этих $n$ полуокружностей: $$S_n = \frac{\pi l_1}{2} + \frac{\pi l_2}{2} + \ldots + \frac{\pi l_n}{2}$$ Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{2}$ за скобки: $$S_n = \frac{\pi}{2} (l_1 + l_2 + \ldots + l_n)$$ Поскольку мы знаем, что $l_1 + l_2 + \ldots + l_n = L$, мы можем подставить это значение в формулу: $$S_n = \frac{\pi L}{2}$$

Теперь рассмотрим второй случай, когда отрезок $AB$ разбит на $m$ отрезков. Обозначим их длины как $d_1, d_2, \ldots, d_m$. Сумма их длин также равна $L$: $$d_1 + d_2 + \ldots + d_m = \sum_{j=1}^{m} d_j = L$$ Сумма длин $S_m$ полуокружностей, построенных на этих отрезках, вычисляется аналогично: $$S_m = \frac{\pi d_1}{2} + \frac{\pi d_2}{2} + \ldots + \frac{\pi d_m}{2}$$ Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{2}$ за скобки: $$S_m = \frac{\pi}{2} (d_1 + d_2 + \ldots + d_m)$$ Подставим значение суммы длин, равное $L$: $$S_m = \frac{\pi L}{2}$$

Для того чтобы найти отношение сумм длин полуокружностей, полученных в первом и втором случаях, разделим $S_n$ на $S_m$: $$\frac{S_n}{S_m} = \frac{\frac{\pi L}{2}}{\frac{\pi L}{2}}$$ Так как числитель и знаменатель равны одному и тому же ненулевому значению (поскольку $L$ — это длина отрезка, $L>0$), их отношение равно 1. $$\frac{S_n}{S_m} = 1$$ Таким образом, сумма длин полуокружностей не зависит от количества отрезков, на которые был разбит исходный отрезок.

Ответ: 1

270. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре (рис. 59), равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах как на диаметрах.

Рис. 59

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны $a$ и $b$, и гипотенузой, длина которой равна $c$.

Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника справедливо равенство:
$a^2 + b^2 = c^2$

Площадь круга с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Так как радиус $R$ равен половине диаметра ($R = d/2$), формулу можно записать как $S_{круга} = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Соответственно, площадь полукруга равна половине площади круга:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2} S_{круга} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi d^2}{8}$.

Теперь найдем площади полукругов, построенных на сторонах нашего треугольника.

1. Площадь полукруга, построенного на катете $a$ (диаметр равен $a$), обозначим $S_a$:
$S_a = \frac{\pi a^2}{8}$

2. Площадь полукруга, построенного на катете $b$ (диаметр равен $b$), обозначим $S_b$:
$S_b = \frac{\pi b^2}{8}$

3. Площадь полукруга, построенного на гипотенузе $c$ (диаметр равен $c$), обозначим $S_c$:
$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Сложим площади полукругов, построенных на катетах:
$S_a + S_b = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:
$S_a + S_b = \frac{\pi}{8} (a^2 + b^2)$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, заменив выражение $a^2 + b^2$ на $c^2$:
$S_a + S_b = \frac{\pi}{8} c^2$

Мы видим, что полученное выражение для суммы площадей полукругов на катетах в точности равно выражению для площади полукруга на гипотенузе:
$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Следовательно, $S_c = S_a + S_b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь полукруга, построенного на гипотенузе, действительно равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

271. Две водопроводные трубы, диаметры которых равны 30 см и 40 см, надо заменить одной трубой с такой же пропускной способностью (пропускная способность водопроводной трубы – это масса воды, которая проходит через поперечное сечение трубы за единицу времени). Каким должен быть диаметр этой трубы?

Пропускная способность водопроводной трубы — это масса воды, которая проходит через поперечное сечение трубы за единицу времени. При условии постоянной скорости потока, пропускная способность прямо пропорциональна площади поперечного сечения трубы.

Площадь поперечного сечения трубы (которое является кругом) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — это радиус. Так как радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), формулу площади можно записать через диаметр: $S = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Из этого следует, что площадь поперечного сечения, а значит и пропускная способность трубы, пропорциональна квадрату ее диаметра ($S \sim d^2$).

По условию задачи, пропускная способность новой трубы должна быть равна сумме пропускных способностей двух старых труб. Обозначим диаметры старых труб как $d_1$ и $d_2$, а диаметр новой трубы — как $d_{нов}$. Тогда, исходя из пропорциональности, мы можем записать равенство для квадратов их диаметров:

$d_{нов}^2 = d_1^2 + d_2^2$

Подставим в формулу известные значения диаметров: $d_1 = 30$ см и $d_2 = 40$ см.

$d_{нов}^2 = 30^2 + 40^2$

$d_{нов}^2 = 900 + 1600$

$d_{нов}^2 = 2500$

Чтобы найти диаметр новой трубы, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$d_{нов} = \sqrt{2500} = 50$ см.

Ответ: 50 см.

272. На сколько процентов увеличится площадь круга, если его радиус увеличить на 10 %?

Обозначим первоначальный радиус круга как $r_1$, а его площадь — $S_1$. Площадь круга вычисляется по формуле:
$S_1 = \pi r_1^2$

По условию, радиус увеличили на 10%. Это означает, что новый радиус $r_2$ будет равен:
$r_2 = r_1 + 0.10 \times r_1 = 1.1 r_1$

Теперь вычислим новую площадь круга $S_2$ с новым радиусом $r_2$:
$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (1.1 r_1)^2 = \pi \times 1.1^2 \times r_1^2 = 1.21 \times \pi r_1^2$

Поскольку $S_1 = \pi r_1^2$, мы можем выразить новую площадь через первоначальную:
$S_2 = 1.21 \times S_1$

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, найдем разницу между новой и старой площадью, разделим на старую площадь и умножим на 100%:
$\frac{S_2 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{1.21 S_1 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{0.21 S_1}{S_1} \times 100\% = 0.21 \times 100\% = 21\%$
Ответ: 21%

273. В круг вписан квадрат со стороной $a$. Найдите площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона квадрата.

Площадь искомого сегмента можно найти, если из площади кругового сектора, опирающегося на сторону квадрата, вычесть площадь треугольника, образованного этой стороной и двумя радиусами, проведенными к ее концам.

1. Сначала определим радиус $R$ окружности. Диагональ вписанного квадрата является диаметром этой окружности. По теореме Пифагора найдем диагональ $d$ квадрата со стороной $a$:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$.
Диаметр окружности равен диагонали квадрата, $D = d = a\sqrt{2}$.
Следовательно, радиус окружности $R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Теперь найдем площадь соответствующего кругового сектора $S_{сект}$. Вершины квадрата делят окружность на четыре равные дуги. Центральный угол $\alpha$, стягиваемый каждой стороной квадрата, равен:
$\alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.
Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$. Подставим наши значения:
$S_{сект} = \frac{\pi \cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 2}{4}\right) = \frac{1}{4} \pi \frac{a^2}{2} = \frac{\pi a^2}{8}$.

3. Далее вычислим площадь треугольника $S_{\triangle}$, который отсекается стороной квадрата. Этот треугольник образован двумя радиусами и стороной квадрата. Так как угол между радиусами равен $90^\circ$, это равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты которого равны радиусу $R$. Его площадь равна:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R \cdot R = \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$.

4. Наконец, найдем площадь сегмента $S_{сегм}$ как разность площади сектора и площади треугольника:
$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}$.
Приведем к общему знаменателю:
$S_{сегм} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{2a^2}{8} = \frac{\pi a^2 - 2a^2}{8} = \frac{a^2(\pi - 2)}{8}$.

Ответ: $\frac{a^2(\pi - 2)}{8}$

274. Из листа жести, имеющего форму круга, вырезали правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов жести пошло в отходы?

Чтобы решить задачу, найдем отношение площади отходов к общей площади листа жести. Правильный шестиугольник наибольшей площади, вырезанный из круга, является вписанным в этот круг.

Пусть радиус листа жести (круга) равен $R$.

1. Найдем площадь круга.
Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле:
$S_{круга} = \pi R^2$

2. Найдем площадь вписанного правильного шестиугольника.
Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Обозначим сторону шестиугольника как $a$, тогда $a = R$.Правильный шестиугольник можно разделить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a=R$. Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) равна:$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$
Площадь всего шестиугольника ($S_{шест.}$) равна сумме площадей шести таких треугольников:$S_{шест.} = 6 \times S_{\triangle} = 6 \times \frac{R^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{2}$

3. Найдем площадь отходов.
Площадь отходов ($S_{отходов}$) — это разность между площадью круга и площадью шестиугольника:$S_{отходов} = S_{круга} - S_{шест.} = \pi R^2 - \frac{3R^2 \sqrt{3}}{2} = R^2 (\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2})$

4. Найдем, сколько процентов жести пошло в отходы.
Для этого нужно найти отношение площади отходов к площади всего листа и умножить на 100%:$\text{Процент отходов} = \frac{S_{отходов}}{S_{круга}} \times 100\% = \frac{R^2 (\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2})}{\pi R^2} \times 100\%$
Сократим $R^2$:$\text{Процент отходов} = \frac{\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}}{\pi} \times 100\% = (1 - \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}) \times 100\%$
Теперь выполним вычисления, используя приближенные значения $\pi \approx 3.1416$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$:$\text{Процент отходов} \approx (1 - \frac{3 \times 1.732}{2 \times 3.1416}) \times 100\% = (1 - \frac{5.196}{6.2832}) \times 100\% \approx (1 - 0.827) \times 100\% = 0.173 \times 100\% = 17.3\%$

Ответ: В отходы пошло примерно 17.3% жести.

275. В круг вписан правильный треугольник со стороной $a$. Найдите площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона треугольника.

Площадь искомого сегмента можно найти как разность площади кругового сектора и площади равнобедренного треугольника, которые опираются на одну и ту же хорду — сторону правильного треугольника $a$. Каждая сторона правильного треугольника отсекает от описанной окружности два сегмента. Поскольку центр окружности лежит внутри треугольника, меньший сегмент — это тот, который не содержит центр окружности.

1. Сначала найдем радиус $R$ окружности, в которую вписан правильный треугольник. Сторона такого треугольника связана с радиусом описанной окружности $R$ известным соотношением $a = R\sqrt{3}$. Отсюда можно выразить радиус окружности через сторону треугольника:$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

2. Далее определим центральный угол, который опирается на сторону вписанного правильного треугольника. Весь круг составляет $360^\circ$, и так как треугольник правильный, его стороны делят окружность на три равные дуги. Следовательно, центральный угол $\alpha$, опирающийся на одну сторону, равен:$\alpha = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

3. Теперь вычислим площадь кругового сектора $S_{сект}$, ограниченного двумя радиусами и дугой, стягиваемой стороной $a$. Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сект} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2$.Подставим наши значения:$S_{сект} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi R^2$.Теперь подставим выражение для радиуса $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$:$S_{сект} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 3}{9}\right) = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{3} = \frac{\pi a^2}{9}$.

4. Найдем площадь треугольника $S_{\triangle}$, образованного двумя радиусами и стороной $a$. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $R$, и углом между ними $\alpha = 120^\circ$. Его площадь можно найти по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$.Подставим сюда выражение для радиуса:$S_{\triangle} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{3a^2}{9} \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{3} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12}$.

5. Наконец, площадь меньшего сегмента $S_{сегм}$ равна разности площади сектора и площади треугольника:$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{\pi a^2}{9} - \frac{a^2\sqrt{3}}{12}$.Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 36:$S_{сегм} = \frac{4 \cdot \pi a^2}{36} - \frac{3 \cdot a^2\sqrt{3}}{36} = \frac{4\pi a^2 - 3a^2\sqrt{3}}{36} = \frac{a^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{36}$.

Ответ: $\frac{a^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{36}$.

276. В круговой сектор, радиус которого равен $R$, а центральный угол составляет $60^\circ$, вписан круг. Найдите площадь этого круга.

Пусть $O$ — вершина кругового сектора, $R$ — его радиус, а центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$. Пусть в этот сектор вписан круг с центром в точке $C$ и радиусом $r$. Наша задача — найти площадь этого круга, которая вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Для этого необходимо найти радиус $r$ вписанного круга.

Центр $C$ вписанного круга лежит на биссектрисе центрального угла $\angle AOB$. Биссектриса делит угол $60^\circ$ на два равных угла по $30^\circ$.

Пусть вписанный круг касается одного из радиусов сектора, например $OA$, в точке $K$. Тогда отрезок $CK$ является радиусом вписанного круга и перпендикулярен радиусу сектора $OA$. Следовательно, треугольник $\triangle OKC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OKC$:

• Катет $CK = r$.
• Угол $\angle KOC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
• $OC$ — гипотенуза.

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(\angle KOC) = \frac{CK}{OC}$
$\sin(30^\circ) = \frac{r}{OC}$

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{r}{OC}$
Отсюда находим расстояние от вершины сектора $O$ до центра вписанного круга $C$:
$OC = 2r$

Вписанный круг касается дуги сектора в точке, которая также лежит на биссектрисе центрального угла. Обозначим эту точку $M$. Расстояние от вершины сектора $O$ до точки $M$ на дуге равно радиусу сектора $R$. Это расстояние складывается из расстояния $OC$ и радиуса вписанного круга $CM = r$:
$R = OM = OC + CM$

Подставим найденное выражение для $OC$:
$R = 2r + r$
$R = 3r$

Отсюда выражаем радиус вписанного круга $r$ через радиус сектора $R$:
$r = \frac{R}{3}$

Теперь можем найти площадь вписанного круга:
$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{9}$

Ответ: $\frac{\pi R^2}{9}$

277. Найдите площадь розетки (заштрихованной фигуры), изображённой на рисунке 60, если сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.

Рис. 59

Рис. 60

Заштрихованная фигура (розетка) состоит из четырех симметричных одинаковых частей, которые принято называть лепестками. Для нахождения общей площади фигуры достаточно найти площадь одного лепестка и умножить ее на четыре.

Каждый лепесток формируется в результате пересечения двух полукругов, построенных на смежных сторонах квадрата как на диаметрах.

Рассмотрим один из лепестков, например, тот, что находится в углу квадрата при вершине $C$. Для удобства расчетов поместим квадрат $ABCD$ в систему координат так, чтобы вершина $C$ совпала с началом координат $(0,0)$, вершина $D$ находилась в точке $(a,0)$, а вершина $B$ — в точке $(0,a)$.

В этой системе координат полукруг, построенный на стороне $CD$ как на диаметре, будет иметь центр в точке $M_1(a/2, 0)$ и радиус $r = a/2$. Полукруг, построенный на стороне $BC$, будет иметь центр в точке $M_2(0, a/2)$ и такой же радиус $r = a/2$.

Лепесток является областью пересечения этих двух полукругов. Точками пересечения их граничных дуг являются вершина $C(0,0)$ и центр квадрата $O(a/2, a/2)$.

Площадь лепестка можно найти как сумму площадей двух одинаковых круговых сегментов. Рассмотрим сегмент, который является частью полукруга с центром в $M_1$ и отсекается хордой $CO$.

Площадь этого сегмента равна разности площади сектора $CM_1O$ и площади треугольника $CM_1O$.

Вершины треугольника $CM_1O$ — это точки $C(0,0)$, $M_1(a/2, 0)$ и $O(a/2, a/2)$. Этот треугольник является прямоугольным, так как его катеты $CM_1$ и $M_1O$ параллельны осям координат. Угол при центре сектора $\angle CM_1O$ прямой и равен $90^\circ$ или $\pi/2$ радиан.

Площадь сектора $CM_1O$, являющегося четвертью круга с радиусом $r = a/2$, вычисляется по формуле:$S_{сектора} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{16}$

Площадь прямоугольного треугольника $CM_1O$ с катетами $a/2$ и $a/2$ равна:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$

Теперь найдем площадь кругового сегмента:$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{\pi a^2}{16} - \frac{a^2}{8}$

Лепесток состоит из двух таких симметричных сегментов, поэтому его площадь равна:$S_{лепестка} = 2 \cdot S_{сегмента} = 2 \left( \frac{\pi a^2}{16} - \frac{a^2}{8} \right) = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}$

Поскольку вся розетка состоит из четырех одинаковых лепестков, ее общая площадь равна:$S_{розетки} = 4 \cdot S_{лепестка} = 4 \left( \frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4} \right) = \frac{4\pi a^2}{8} - \frac{4a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2} - a^2$

Вынося общий множитель $a^2$ за скобки, получаем окончательный результат.

Ответ: $a^2 \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$