Номер 276, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

276. В круговой сектор, радиус которого равен $R$, а центральный угол составляет $60^\circ$, вписан круг. Найдите площадь этого круга.

Пусть $O$ — вершина кругового сектора, $R$ — его радиус, а центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$. Пусть в этот сектор вписан круг с центром в точке $C$ и радиусом $r$. Наша задача — найти площадь этого круга, которая вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Для этого необходимо найти радиус $r$ вписанного круга.

Центр $C$ вписанного круга лежит на биссектрисе центрального угла $\angle AOB$. Биссектриса делит угол $60^\circ$ на два равных угла по $30^\circ$.

Пусть вписанный круг касается одного из радиусов сектора, например $OA$, в точке $K$. Тогда отрезок $CK$ является радиусом вписанного круга и перпендикулярен радиусу сектора $OA$. Следовательно, треугольник $\triangle OKC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OKC$:

• Катет $CK = r$.
• Угол $\angle KOC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
• $OC$ — гипотенуза.

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(\angle KOC) = \frac{CK}{OC}$
$\sin(30^\circ) = \frac{r}{OC}$

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{r}{OC}$
Отсюда находим расстояние от вершины сектора $O$ до центра вписанного круга $C$:
$OC = 2r$

Вписанный круг касается дуги сектора в точке, которая также лежит на биссектрисе центрального угла. Обозначим эту точку $M$. Расстояние от вершины сектора $O$ до точки $M$ на дуге равно радиусу сектора $R$. Это расстояние складывается из расстояния $OC$ и радиуса вписанного круга $CM = r$:
$R = OM = OC + CM$

Подставим найденное выражение для $OC$:
$R = 2r + r$
$R = 3r$

Отсюда выражаем радиус вписанного круга $r$ через радиус сектора $R$:
$r = \frac{R}{3}$

Теперь можем найти площадь вписанного круга:
$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{9}$

Ответ: $\frac{\pi R^2}{9}$