Номер 279, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

279. (Задача Гиппократа.) Около прямоугольника описали окружность и на каждой его стороне как на диаметре построили полуокружность (рис. 62*). Докажите, что сумма площадей закрашенных фигур равна площади прямоугольника.

Рис. 62

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Обозначим искомую сумму площадей закрашенных фигур (лунок) как $S_{лунок}$, площадь прямоугольника как $S_{прям}$, суммарную площадь четырех полуокружностей, построенных на сторонах прямоугольника, как $S_{полуокр}$, и площадь окружности, описанной около прямоугольника, как $S_{окр}$.

Площадь всей фигуры, изображенной на рисунке, можно выразить двумя способами.

С одной стороны, общая площадь равна сумме площади описанной окружности и площадей четырех закрашенных лунок:
$S_{общая} = S_{окр} + S_{лунок}$.

С другой стороны, та же самая общая площадь равна сумме площади прямоугольника и площадей четырех полуокружностей, построенных на его сторонах:
$S_{общая} = S_{прям} + S_{полуокр}$.

Приравнивая эти два выражения для общей площади, получаем равенство:
$S_{окр} + S_{лунок} = S_{прям} + S_{полуокр}$.

Теперь найдем площади $S_{полуокр}$ и $S_{окр}$.

Сумма площадей четырех полуокружностей (две на сторонах $a$ и две на сторонах $b$) вычисляется следующим образом. Радиусы полуокружностей равны $a/2$ и $b/2$.
$S_{полуокр} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2\right) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\pi\left(\frac{b}{2}\right)^2\right) = \pi\frac{a^2}{4} + \pi\frac{b^2}{4} = \frac{\pi(a^2+b^2)}{4}$.

Диаметр описанной окружности $d$ равен диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора, $d^2 = a^2 + b^2$. Радиус описанной окружности $R = d/2$.
Площадь описанной окружности равна:
$S_{окр} = \pi R^2 = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi(a^2+b^2)}{4}$.

Сравнивая выражения для площадей, мы видим, что сумма площадей четырех полуокружностей равна площади описанной окружности:
$S_{полуокр} = S_{окр}$.

Подставим этот результат в наше основное равенство $S_{окр} + S_{лунок} = S_{прям} + S_{полуокр}$:
$S_{окр} + S_{лунок} = S_{прям} + S_{окр}$.

Вычитая из обеих частей равенства площадь описанной окружности $S_{окр}$, получаем:
$S_{лунок} = S_{прям}$.

Таким образом, мы доказали, что сумма площадей закрашенных фигур равна площади прямоугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма площадей закрашенных фигур равна площади прямоугольника.