Номер 285, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

285. Начертите на координатной плоскости отрезок $AB$, найдите по рисунку координаты середины отрезка и сравните их со средним арифметическим соответствующих координат точек $A$ и $B$, если:

1) $A (-1; -6)$, $B (5; -6)$;

2) $A (3; 1)$, $B (3; 5)$;

3) $A (3; -5)$, $B (-1; 3)$.

1) A (-1; -6), B (5; -6);

Начертим на координатной плоскости отрезок AB, отметив точку A с координатами (-1; -6) и точку B с координатами (5; -6). Соединив эти точки, мы получим горизонтальный отрезок, так как их ординаты (координаты y) равны -6.

Найдем по рисунку координаты середины отрезка. Обозначим ее точкой C. Так как отрезок AB горизонтальный, его середина C будет иметь ту же ординату, что и точки A и B, то есть -6. Абсцисса точки C будет находиться ровно посередине между абсциссами точек A и B (-1 и 5). Длина проекции отрезка на ось Ox равна $5 - (-1) = 6$ единиц. Середина будет на расстоянии $6 / 2 = 3$ единицы от каждого конца. Абсцисса точки C равна $-1 + 3 = 2$. Таким образом, координаты середины отрезка, найденные по рисунку, — C(2; -6).

Теперь вычислим среднее арифметическое соответствующих координат точек A и B. Пусть $C(x_C; y_C)$ — середина отрезка AB. Её координаты вычисляются по формулам:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-6 + (-6)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Координаты, вычисленные как среднее арифметическое, равны (2; -6).

Сравнивая результаты, мы видим, что координаты середины отрезка, найденные по рисунку, (2; -6), совпадают с координатами, вычисленными как среднее арифметическое.

Ответ: Координаты середины отрезка (2; -6) совпадают со средним арифметическим соответствующих координат точек A и B.

2) A (3; 1), B (3; 5);

Начертим на координатной плоскости отрезок AB, отметив точку A с координатами (3; 1) и точку B с координатами (3; 5). Соединив эти точки, мы получим вертикальный отрезок, так как их абсциссы (координаты x) равны 3.

Найдем по рисунку координаты середины отрезка, точки C. Так как отрезок AB вертикальный, его середина C будет иметь ту же абсциссу, что и точки A и B, то есть 3. Ордината точки C будет находиться ровно посередине между ординатами точек A и B (1 и 5). Длина проекции отрезка на ось Oy равна $5 - 1 = 4$ единицы. Середина будет на расстоянии $4 / 2 = 2$ единицы от каждого конца. Ордината точки C равна $1 + 2 = 3$. Таким образом, координаты середины отрезка, найденные по рисунку, — C(3; 3).

Теперь вычислим среднее арифметическое соответствующих координат точек A и B. Пусть $C(x_C; y_C)$ — середина отрезка AB. Её координаты вычисляются по формулам:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Координаты, вычисленные как среднее арифметическое, равны (3; 3).

Сравнивая результаты, мы видим, что координаты середины отрезка, найденные по рисунку, (3; 3), совпадают с координатами, вычисленными как среднее арифметическое.

Ответ: Координаты середины отрезка (3; 3) совпадают со средним арифметическим соответствующих координат точек A и B.

3) A (3; -5), B (-1; 3);

Начертим на координатной плоскости отрезок AB, отметив точку A с координатами (3; -5) и точку B с координатами (-1; 3). Соединив эти точки, мы получим наклонный отрезок.

Чтобы найти по рисунку координаты середины отрезка C, найдем середины его проекций на оси координат. Абсцисса точки C будет находиться посередине между абсциссами точек A и B (3 и -1). Ордината точки C будет находиться посередине между ординатами точек A и B (-5 и 3). Визуально определяем, что середина отрезка по оси Ox находится в точке $x=1$, а по оси Oy — в точке $y=-1$. Таким образом, координаты середины отрезка, найденные по рисунку, — C(1; -1).

Теперь вычислим среднее арифметическое соответствующих координат точек A и B. Пусть $C(x_C; y_C)$ — середина отрезка AB. Её координаты вычисляются по формулам:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Координаты, вычисленные как среднее арифметическое, равны (1; -1).

Сравнивая результаты, мы видим, что координаты середины отрезка, найденные по рисунку, (1; -1), совпадают с координатами, вычисленными как среднее арифметическое.

Ответ: Координаты середины отрезка (1; -1) совпадают со средним арифметическим соответствующих координат точек A и B.