Номер 278, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

278. При построении четырёх дуг с центрами в вершинах квадрата $ABCD$ и радиусами, равными стороне $a$ квадрата, образовалась фигура, ограниченная красной линией (рис. 61). Найдите длину этой линии.

Рис. 61

Вся красная линия состоит из четырех одинаковых дуг, образованных пересечением четырех исходных дуг. Из-за симметрии фигуры достаточно найти длину одной из этих четырех дуг и умножить результат на 4.

Рассмотрим дугу NK. По рисунку видно, что эта дуга является частью окружности с центром в вершине D и радиусом, равным стороне квадрата $a$. Длина дуги окружности вычисляется по формуле $L = R \cdot \alpha$, где $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — центральный угол, стягивающий дугу, выраженный в радианах. В нашем случае радиус $R = a$. Нам нужно найти центральный угол $\angle NDK$.

Для этого определим положение точек N и K.

Точка N является точкой пересечения дуг, построенных из центров B и C.

Точка K является точкой пересечения дуг, построенных из центров C и D.

Рассмотрим треугольник $\triangle KDC$.

• Сторона $DC$ является стороной квадрата, поэтому ее длина равна $a$.
• Точка $K$ лежит на дуге с центром в точке $D$ и радиусом $a$, следовательно, расстояние $DK = a$.
• Точка $K$ также лежит на дуге с центром в точке $C$ и радиусом $a$, следовательно, расстояние $CK = a$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle KDC$ равны $a$, он является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle KDC = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим симметричную ситуацию для нахождения положения другой конечной точки дуги - точки P (согласно рисунку, дуга PK с центром в A). Точка P является точкой пересечения дуг из центров A и D.

Рассмотрим треугольник $\triangle PDA$.

• Сторона $AD$ является стороной квадрата, поэтому ее длина равна $a$.
• Точка $P$ лежит на дуге с центром в точке $D$ и радиусом $a$, следовательно, расстояние $DP = a$.
• Точка $P$ лежит на дуге с центром в точке $A$ и радиусом $a$, следовательно, расстояние $AP = a$.

Таким образом, треугольник $\triangle PDA$ также является равносторонним, и угол $\angle PDA = 60^\circ$.

Теперь мы можем найти центральный угол $\angle PDK$, который стягивает дугу PK (которая на рисунке обозначена как KP).

Угол квадрата $\angle CDA$ равен $90^\circ$. Этот угол состоит из трех углов: $\angle CDK$, $\angle KDP$ и $\angle PDA$. Нет, это неверно. Углы $\angle KDC$ и $\angle PDA$ находятся внутри угла $\angle CDA$ и имеют общую вершину D. Поскольку сумма этих углов ($60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$) больше, чем угол квадрата ($90^\circ$), они пересекаются. Угол $\angle KDP$ является областью их пересечения.

Следовательно, искомый центральный угол $\angle KDP$ можно найти следующим образом: $$ \angle KDP = \angle KDC + \angle PDA - \angle CDA $$ $$ \angle KDP = 60^\circ + 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ $$

Итак, центральный угол для одной из четырех дуг красной линии равен $30^\circ$. Переведем этот угол в радианы: $$ \alpha = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ радиан} $$

Теперь найдем длину одной такой дуги (например, дуги KP с центром в A или, по симметрии, любой другой из четырех): $$ L_{дуги} = a \cdot \alpha = a \cdot \frac{\pi}{6} $$

Так как вся красная линия состоит из четырех таких одинаковых дуг, ее общая длина $L_{общая}$ равна: $$ L_{общая} = 4 \cdot L_{дуги} = 4 \cdot \frac{a\pi}{6} = \frac{2a\pi}{3} $$

Ответ: Длина красной линии равна $\frac{2\pi a}{3}$.