Номер 274, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

274. Из листа жести, имеющего форму круга, вырезали правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов жести пошло в отходы?

Чтобы решить задачу, найдем отношение площади отходов к общей площади листа жести. Правильный шестиугольник наибольшей площади, вырезанный из круга, является вписанным в этот круг.

Пусть радиус листа жести (круга) равен $R$.

1. Найдем площадь круга.
Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле:
$S_{круга} = \pi R^2$

2. Найдем площадь вписанного правильного шестиугольника.
Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Обозначим сторону шестиугольника как $a$, тогда $a = R$.Правильный шестиугольник можно разделить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a=R$. Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) равна:$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$
Площадь всего шестиугольника ($S_{шест.}$) равна сумме площадей шести таких треугольников:$S_{шест.} = 6 \times S_{\triangle} = 6 \times \frac{R^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{2}$

3. Найдем площадь отходов.
Площадь отходов ($S_{отходов}$) — это разность между площадью круга и площадью шестиугольника:$S_{отходов} = S_{круга} - S_{шест.} = \pi R^2 - \frac{3R^2 \sqrt{3}}{2} = R^2 (\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2})$

4. Найдем, сколько процентов жести пошло в отходы.
Для этого нужно найти отношение площади отходов к площади всего листа и умножить на 100%:$\text{Процент отходов} = \frac{S_{отходов}}{S_{круга}} \times 100\% = \frac{R^2 (\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2})}{\pi R^2} \times 100\%$
Сократим $R^2$:$\text{Процент отходов} = \frac{\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}}{\pi} \times 100\% = (1 - \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}) \times 100\%$
Теперь выполним вычисления, используя приближенные значения $\pi \approx 3.1416$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$:$\text{Процент отходов} \approx (1 - \frac{3 \times 1.732}{2 \times 3.1416}) \times 100\% = (1 - \frac{5.196}{6.2832}) \times 100\% \approx (1 - 0.827) \times 100\% = 0.173 \times 100\% = 17.3\%$

Ответ: В отходы пошло примерно 17.3% жести.