Номер 268, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

268. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $70^\circ$. На высоте треугольника, проведённой к основанию и равной 27 см, как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги окружности, принадлежащей треугольнику.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны. Углы при основании, по условию, равны $\angle BAC = \angle BCA = 70^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол при вершине $B$:$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Проведена высота $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Следовательно, $BH$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла:$\angle ABH = \angle CBH = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.

На высоте $BH$ как на диаметре построена окружность. Длина диаметра $d = BH = 27$ см. Радиус этой окружности $r$ равен половине диаметра:$r = \frac{d}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ см.Пусть $O$ — центр окружности, который является серединой высоты $BH$.

Окружность пересекает боковые стороны треугольника $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Дуга окружности, которая принадлежит треугольнику, — это дуга $MN$. Для нахождения ее длины нам необходимо определить величину соответствующего ей центрального угла $\angle MON$.

Рассмотрим точку $M$, которая является точкой пересечения окружности и стороны $AB$. Так как точки $B$, $M$ и $H$ лежат на окружности, а отрезок $BH$ является ее диаметром, то вписанный угол $\angle BMH$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHM$ (с прямым углом при вершине $M$). Мы знаем, что $\angle HBM = \angle ABH = 20^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:$\angle BHM = 90^\circ - \angle HBM = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$.

Рассмотрим треугольник $OMH$. Его стороны $OM$ и $OH$ являются радиусами окружности, поэтому $OM = OH = r = 13.5$ см. Это означает, что треугольник $OMH$ является равнобедренным.В равнобедренном треугольнике $OMH$ углы при основании $MH$ равны: $\angle OMH = \angle OHM$.Мы уже нашли, что $\angle OHM = \angle BHM = 70^\circ$, следовательно, $\angle OMH$ также равен $70^\circ$.Тогда угол при вершине $O$ в треугольнике $OMH$ равен:$\angle MOH = 180^\circ - (\angle OMH + \angle OHM) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

В силу симметрии задачи относительно высоты $BH$, для треугольника $ONH$ мы получим аналогичный результат: $\angle NOH = 40^\circ$.

Центральный угол $\angle MON$, стягивающий искомую дугу $MN$, равен сумме углов $\angle MOH$ и $\angle NOH$:$\angle MON = \angle MOH + \angle NOH = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$.

Теперь мы можем найти длину дуги $L$ по формуле длины дуги окружности:$L = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$, где $r$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера центрального угла.Подставляем наши значения $r = 13.5$ см и $\alpha = 80^\circ$:$L = \frac{\pi \cdot 13.5 \cdot 80}{180} = \frac{\pi \cdot \frac{27}{2} \cdot 80}{180} = \frac{\pi \cdot 27 \cdot 40}{180} = \frac{\pi \cdot 27}{4.5} = 6\pi$ см.

Ответ: $6\pi$ см.