Номер 265, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

265. Сторона треугольника равна 6 см, а прилежащие к ней углы равны $50^{\circ}$ и $100^{\circ}$. Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность.

Пусть дан треугольник $ABC$, у которого сторона $c$ (лежащая напротив угла $C$) равна 6 см, а прилежащие к ней углы $\angle A = 50^\circ$ и $\angle B = 100^\circ$.

1. Найдем третий угол треугольника.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, третий угол $C$ равен:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 100^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

2. Найдем радиус описанной окружности.
Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Используем известную сторону $c=6$ см и противолежащий ей угол $\angle C = 30^\circ$:
$2R = \frac{c}{\sin C} = \frac{6}{\sin 30^\circ}$
Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$2R = \frac{6}{1/2} = 12$ см.
Отсюда радиус описанной окружности $R = 6$ см.

3. Найдем градусные меры дуг.
Вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ делят описанную окружность на три дуги: $AB$, $BC$ и $AC$. Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, в два раза больше этого угла.

• Дуга $BC$, на которую опирается вписанный угол $\angle A$, имеет градусную меру:
  $\cup BC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.
• Дуга $AC$, на которую опирается вписанный угол $\angle B$, имеет градусную меру:
  $\cup AC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 100^\circ = 200^\circ$.
• Дуга $AB$, на которую опирается вписанный угол $\angle C$, имеет градусную меру:
  $\cup AB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

4. Найдем длины дуг.
Длина дуги $l$ с градусной мерой $\alpha$ и радиусом $R$ вычисляется по формуле:
$l = 2\pi R \frac{\alpha}{360^\circ}$.

• Длина дуги, соответствующей углу $100^\circ$:
  $l_1 = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{100^\circ}{360^\circ} = 12\pi \cdot \frac{10}{36} = 12\pi \cdot \frac{5}{18} = \frac{10\pi}{3}$ см.
• Длина дуги, соответствующей углу $200^\circ$:
  $l_2 = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{200^\circ}{360^\circ} = 12\pi \cdot \frac{20}{36} = 12\pi \cdot \frac{5}{9} = \frac{20\pi}{3}$ см.
• Длина дуги, соответствующей углу $60^\circ$:
  $l_3 = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{60^\circ}{360^\circ} = 12\pi \cdot \frac{1}{6} = 2\pi$ см.

Ответ: длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную окружность, равны $2\pi$ см, $\frac{10\pi}{3}$ см и $\frac{20\pi}{3}$ см.