Номер 267, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

267. На катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику, если $\angle A = 24^\circ$, $AC = 20$ см.

По условию, дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. На катете $AC$ как на диаметре построена окружность. Нам известны $\angle A = 24^\circ$ и длина катета $AC = 20$ см.

Так как катет $AC$ является диаметром окружности, ее радиус $r$ равен половине длины $AC$: $r = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Центр окружности, обозначим его точкой $O$, является серединой отрезка $AC$. Окружность пересекает гипотенузу $AB$ в некоторой точке, которую мы назовем $D$. Дуга окружности, которая находится внутри треугольника, это дуга $CD$. Нам необходимо найти ее длину.

Длина дуги окружности вычисляется по формуле $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$, где $r$ - радиус окружности, а $\alpha$ - градусная мера центрального угла, стягивающего эту дугу. В нашем случае это угол $\angle COD$.

Угол $\angle CAD$ (который равен углу $\angle A$ треугольника $ABC$) является вписанным в окружность и опирается на дугу $CD$. По условию $\angle CAD = 24^\circ$.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла. Таким образом, мы можем найти градусную меру угла $\angle COD$: $\angle COD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ$.

Теперь, зная радиус $r = 10$ см и центральный угол $\alpha = \angle COD = 48^\circ$, мы можем вычислить длину дуги $CD$: $L_{CD} = \frac{48^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 10$ см.

Упростим выражение. Сначала сократим дробь $\frac{48}{360}$: $\frac{48}{360} = \frac{48 \div 48}{360 \div 48} = \frac{1}{7.5}$ (неудобно) $\frac{48}{360} = \frac{4 \cdot 12}{30 \cdot 12} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.

Подставим сокращенную дробь обратно в формулу: $L_{CD} = \frac{2}{15} \cdot 20\pi = \frac{40\pi}{15}$ см.

Сократим полученную дробь на 5: $L_{CD} = \frac{40\pi \div 5}{15 \div 5} = \frac{8\pi}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$ см.