Номер 270, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

270. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре (рис. 59), равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах как на диаметрах.

Рис. 59

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны $a$ и $b$, и гипотенузой, длина которой равна $c$.

Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника справедливо равенство:
$a^2 + b^2 = c^2$

Площадь круга с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Так как радиус $R$ равен половине диаметра ($R = d/2$), формулу можно записать как $S_{круга} = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Соответственно, площадь полукруга равна половине площади круга:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2} S_{круга} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi d^2}{8}$.

Теперь найдем площади полукругов, построенных на сторонах нашего треугольника.

1. Площадь полукруга, построенного на катете $a$ (диаметр равен $a$), обозначим $S_a$:
$S_a = \frac{\pi a^2}{8}$

2. Площадь полукруга, построенного на катете $b$ (диаметр равен $b$), обозначим $S_b$:
$S_b = \frac{\pi b^2}{8}$

3. Площадь полукруга, построенного на гипотенузе $c$ (диаметр равен $c$), обозначим $S_c$:
$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Сложим площади полукругов, построенных на катетах:
$S_a + S_b = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:
$S_a + S_b = \frac{\pi}{8} (a^2 + b^2)$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, заменив выражение $a^2 + b^2$ на $c^2$:
$S_a + S_b = \frac{\pi}{8} c^2$

Мы видим, что полученное выражение для суммы площадей полукругов на катетах в точности равно выражению для площади полукруга на гипотенузе:
$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Следовательно, $S_c = S_a + S_b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь полукруга, построенного на гипотенузе, действительно равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.