Номер 277, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

277. Найдите площадь розетки (заштрихованной фигуры), изображённой на рисунке 60, если сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.

Рис. 59

Рис. 60

Заштрихованная фигура (розетка) состоит из четырех симметричных одинаковых частей, которые принято называть лепестками. Для нахождения общей площади фигуры достаточно найти площадь одного лепестка и умножить ее на четыре.

Каждый лепесток формируется в результате пересечения двух полукругов, построенных на смежных сторонах квадрата как на диаметрах.

Рассмотрим один из лепестков, например, тот, что находится в углу квадрата при вершине $C$. Для удобства расчетов поместим квадрат $ABCD$ в систему координат так, чтобы вершина $C$ совпала с началом координат $(0,0)$, вершина $D$ находилась в точке $(a,0)$, а вершина $B$ — в точке $(0,a)$.

В этой системе координат полукруг, построенный на стороне $CD$ как на диаметре, будет иметь центр в точке $M_1(a/2, 0)$ и радиус $r = a/2$. Полукруг, построенный на стороне $BC$, будет иметь центр в точке $M_2(0, a/2)$ и такой же радиус $r = a/2$.

Лепесток является областью пересечения этих двух полукругов. Точками пересечения их граничных дуг являются вершина $C(0,0)$ и центр квадрата $O(a/2, a/2)$.

Площадь лепестка можно найти как сумму площадей двух одинаковых круговых сегментов. Рассмотрим сегмент, который является частью полукруга с центром в $M_1$ и отсекается хордой $CO$.

Площадь этого сегмента равна разности площади сектора $CM_1O$ и площади треугольника $CM_1O$.

Вершины треугольника $CM_1O$ — это точки $C(0,0)$, $M_1(a/2, 0)$ и $O(a/2, a/2)$. Этот треугольник является прямоугольным, так как его катеты $CM_1$ и $M_1O$ параллельны осям координат. Угол при центре сектора $\angle CM_1O$ прямой и равен $90^\circ$ или $\pi/2$ радиан.

Площадь сектора $CM_1O$, являющегося четвертью круга с радиусом $r = a/2$, вычисляется по формуле:$S_{сектора} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{16}$

Площадь прямоугольного треугольника $CM_1O$ с катетами $a/2$ и $a/2$ равна:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$

Теперь найдем площадь кругового сегмента:$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{\pi a^2}{16} - \frac{a^2}{8}$

Лепесток состоит из двух таких симметричных сегментов, поэтому его площадь равна:$S_{лепестка} = 2 \cdot S_{сегмента} = 2 \left( \frac{\pi a^2}{16} - \frac{a^2}{8} \right) = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}$

Поскольку вся розетка состоит из четырех одинаковых лепестков, ее общая площадь равна:$S_{розетки} = 4 \cdot S_{лепестка} = 4 \left( \frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4} \right) = \frac{4\pi a^2}{8} - \frac{4a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2} - a^2$

Вынося общий множитель $a^2$ за скобки, получаем окончательный результат.

Ответ: $a^2 \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$