Номер 283, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

283. Сумма углов при большем основании трапеции равна $90^\circ$. Докажите, что расстояние между серединами оснований трапеции равно полуразности оснований.

Дано:

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание. $M$ — середина $BC$, $N$ — середина $AD$. Сумма углов при большем основании $∠A + ∠D = 90°$.

Доказать:

Расстояние $MN$ равно полуразности оснований: $MN = \frac{AD - BC}{2}$.

Доказательство:

Продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$. Рассмотрим полученный треугольник $APD$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $∠APD = 180° - (∠PAD + ∠PDA)$. По условию задачи, сумма углов при большем основании $∠A + ∠D = 90°$, следовательно, $∠APD = 180° - 90° = 90°$. Это означает, что треугольник $APD$ является прямоугольным.

Так как основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, то треугольник $BPC$ подобен треугольнику $APD$. Из этого следует, что $∠BPC = ∠APD = 90°$, то есть треугольник $BPC$ также является прямоугольным, а $BC$ и $AD$ — гипотенузы в треугольниках $BPC$ и $APD$ соответственно.

Рассмотрим медианы, проведённые из вершины прямого угла $P$ в этих треугольниках. Отрезок $PN$ является медианой к гипотенузе $AD$ в треугольнике $APD$, так как $N$ — середина $AD$. По свойству медианы прямоугольного треугольника, её длина равна половине гипотенузы: $PN = \frac{AD}{2}$. Аналогично, $PM$ — медиана к гипотенузе $BC$ в треугольнике $BPC$, поэтому $PM = \frac{BC}{2}$.

Докажем, что точки $P, M, N$ лежат на одной прямой. В прямоугольном треугольнике $APD$ медиана $PN$ делит его на два равнобедренных треугольника. В $△APN$ стороны $PN=AN$, следовательно, $∠APN = ∠PAN = ∠A$. В прямоугольном треугольнике $BPC$ медиана $PM$ делит его на два равнобедренных треугольника. В $△BPM$ стороны $PM=BM$, следовательно, $∠BPM = ∠PBM$. Так как $BC \parallel AD$, углы $∠PBM$ и $∠PAN$ являются соответственными при секущей $AP$, а значит, равны: $∠PBM = ∠PAN = ∠A$. Таким образом, $∠APN = ∠BPM = ∠A$. Поскольку лучи $PN$ и $PM$ выходят из одной точки $P$, лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AP$ и образуют с ней равные углы, они совпадают. Значит, точки $P, M, N$ лежат на одной прямой.

Так как точки $P, M, N$ коллинеарны, а $AD > BC$ влечет за собой $PN > PM$, искомое расстояние $MN$ равно разности длин отрезков $PN$ и $PM$:

$MN = PN - PM = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2} = \frac{AD - BC}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, расстояние между серединами оснований трапеции равно полуразности оснований.