Номер 286, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

286. Постройте на координатной плоскости треугольник $\Delta ABC$ и найдите его стороны, если $A (5; -1)$, $B (-3; 5)$, $C (-3; -1)$.

Задача состоит из двух частей: построение треугольника на координатной плоскости по заданным координатам вершин и нахождение длин его сторон.

Построение треугольника ABC
Для построения треугольника необходимо отметить на координатной плоскости три точки, являющиеся его вершинами: $A(5; -1)$, $B(-3; 5)$ и $C(-3; -1)$. После этого точки соединяются отрезками $AB$, $BC$ и $AC$, образуя треугольник.
При построении можно заметить, что точки A и C имеют одинаковую ординату ($y = -1$), поэтому сторона AC параллельна оси Ox. Точки B и C имеют одинаковую абсциссу ($x = -3$), поэтому сторона BC параллельна оси Oy. Это означает, что угол C — прямой, и треугольник ABC является прямоугольным.

Нахождение длин сторон
Длину стороны (расстояние между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$) будем находить по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Нахождение длины стороны AC
Найдем расстояние между точками $A(5; -1)$ и $C(-3; -1)$.
Поскольку ординаты точек одинаковы, длина стороны $AC$ равна модулю разности их абсцисс:
$AC = |5 - (-3)| = |5 + 3| = 8$.
Проверка по общей формуле:
$AC = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: $AC = 8$.

Нахождение длины стороны BC
Найдем расстояние между точками $B(-3; 5)$ и $C(-3; -1)$.
Поскольку абсциссы точек одинаковы, длина стороны $BC$ равна модулю разности их ординат:
$BC = |5 - (-1)| = |5 + 1| = 6$.
Проверка по общей формуле:
$BC = \sqrt{(-3 - (-3))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = \sqrt{36} = 6$.
Ответ: $BC = 6$.

Нахождение длины стороны AB
Найдем расстояние между точками $A(5; -1)$ и $B(-3; 5)$, используя общую формулу расстояния:
$AB = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(-8)^2 + (5 + 1)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: $AB = 10$.