Номер 282, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

282. Биссектриса угла $A$ прямоугольника $ABCD$ делит его сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$ длиной 10 см и 14 см соответственно. На отрезки какой длины эта биссектриса делит диагональ прямоугольника?

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник, а $AM$ — биссектриса угла $A$, где точка $M$ лежит на стороне $BC$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его угол $\angle A = 90^\circ$. Так как $AM$ является биссектрисой этого угла, то $\angle BAM = \angle MAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Угол $\angle B = 90^\circ$, так как это угол прямоугольника. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BMA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.Поскольку в треугольнике $\triangle ABM$ два угла равны ($\angle BAM = \angle BMA = 45^\circ$), он является равнобедренным, и его стороны $AB$ и $BM$ равны.

По условию задачи, биссектриса делит сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$ длиной 10 см и 14 см соответственно. Это означает, что $BM = 10$ см и $MC = 14$ см.Из равнобедренного треугольника $\triangle ABM$ мы нашли, что $AB = BM$, следовательно, сторона $AB = 10$ см.Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$: $BC = BM + MC = 10 + 14 = 24$ см.В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 24$ см.

Биссектриса $AM$ пересекает диагональ $BD$ (диагональ $AC$ она пересекает только в вершине $A$). Обозначим точку пересечения $AM$ и $BD$ как $O$.Рассмотрим треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle MBO$. Поскольку $AD \parallel BC$ (как противоположные стороны прямоугольника), то и $AD \parallel BM$.1. $\angle ADO = \angle MBO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).2. $\angle DAO = \angle BMO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AM$).Следовательно, треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle MBO$ подобны по двум углам (признак подобия AA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$$ \frac{BO}{DO} = \frac{BM}{AD} $$Подставим известные значения: $BM = 10$ см и $AD = 24$ см.$$ \frac{BO}{DO} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} $$Это означает, что биссектриса делит диагональ $BD$ в отношении $5:12$.

Теперь найдем полную длину диагонали $BD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$ по теореме Пифагора:$$ BD^2 = AB^2 + AD^2 $$$$ BD^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 $$$$ BD = \sqrt{676} = 26 \text{ см} $$Диагональ $BD$ состоит из двух отрезков $BO$ и $DO$, сумма длин которых равна $BD$, то есть $BO + DO = 26$ см. Пусть $BO = 5x$ и $DO = 12x$. Тогда их сумма $5x + 12x = 17x = 26$, откуда $x = \frac{26}{17}$.Следовательно, длины искомых отрезков равны:$$ BO = 5x = 5 \cdot \frac{26}{17} = \frac{130}{17} \text{ см} $$$$ DO = 12x = 12 \cdot \frac{26}{17} = \frac{312}{17} \text{ см} $$

Ответ: Биссектриса делит диагональ на отрезки длиной $\frac{130}{17}$ см и $\frac{312}{17}$ см.