Номер 289, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

289. Что можно сказать о координатах точки A, если:

1) точка A лежит на оси абсцисс;

2) точка A лежит на оси ординат;

3) точка A лежит на биссектрисе четвёртого координатного угла;

4) точка A лежит на биссектрисе третьего координатного угла;

5) точка A лежит на биссектрисе первого координатного угла?

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x, y)$.

1) точка А лежит на оси абсцисс

Ось абсцисс — это горизонтальная ось $Ox$. У любой точки, которая лежит на этой оси, координата по оси ординат (координата $y$) всегда равна нулю. Координата по оси абсцисс ($x$) может быть любым действительным числом. Следовательно, координаты точки $A$ имеют вид $(x, 0)$.

Ответ: ордината точки $A$ равна нулю, $y=0$.

2) точка А лежит на оси ординат

Ось ординат — это вертикальная ось $Oy$. У любой точки, которая лежит на этой оси, координата по оси абсцисс (координата $x$) всегда равна нулю. Координата по оси ординат ($y$) может быть любым действительным числом. Следовательно, координаты точки $A$ имеют вид $(0, y)$.

Ответ: абсцисса точки $A$ равна нулю, $x=0$.

3) точка А лежит на биссектрисе четвёртого координатного угла

Четвёртый координатный угол (или четвёртая четверть) — это область, где абсцисса положительна ($x > 0$), а ордината отрицательна ($y < 0$). Биссектриса координатного угла — это луч, исходящий из начала координат и делящий этот угол пополам. Точки, лежащие на биссектрисе четвёртого координатного угла, равноудалены от положительной полуоси $Ox$ и отрицательной полуоси $Oy$. Это означает, что их координаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Уравнение прямой, содержащей эту биссектрису, имеет вид $y = -x$. Таким образом, для точки $A(x,y)$ выполняется равенство $y = -x$, причём $x \ge 0$ (и, соответственно, $y \le 0$).

Ответ: координаты точки $A$ являются противоположными числами, $y = -x$, при этом $x \ge 0$.

4) точка А лежит на биссектрисе третьего координатного угла

Третий координатный угол (третья четверть) — это область, где и абсцисса, и ордината отрицательны ($x < 0$, $y < 0$). Точки, лежащие на биссектрисе третьего координатного угла, равноудалены от отрицательных полуосей $Ox$ и $Oy$. Это означает, что их координаты равны. Уравнение прямой, содержащей эту биссектрису, имеет вид $y = x$. Таким образом, для точки $A(x,y)$ выполняется равенство $y = x$, причём $x \le 0$ (и, соответственно, $y \le 0$).

Ответ: координаты точки $A$ равны, $y = x$, при этом $x \le 0$.

5) точка А лежит на биссектрисе первого координатного угла

Первый координатный угол (первая четверть) — это область, где и абсцисса, и ордината положительны ($x > 0$, $y > 0$). Точки, лежащие на биссектрисе первого координатного угла, равноудалены от положительных полуосей $Ox$ и $Oy$. Это означает, что их координаты равны. Уравнение прямой, содержащей эту биссектрису, имеет вид $y = x$. Таким образом, для точки $A(x,y)$ выполняется равенство $y = x$, причём $x \ge 0$ (и, соответственно, $y \ge 0$).

Ответ: координаты точки $A$ равны, $y = x$, при этом $x \ge 0$.