Номер 4, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. В окружность вписан правильный шестиугольник, сторона которого равна $a$. Чему равна сторона треугольника, описанного около этой окружности?

А) $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Б) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

В) $a\sqrt{3}$

Г) $2a\sqrt{3}$

Пусть $R$ — радиус окружности.

1. Сначала найдем радиус окружности. По условию, в окружность вписан правильный шестиугольник со стороной $a_6 = a$. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. Следовательно, радиус данной окружности $R = a_6 = a$.

2. Теперь найдем сторону треугольника, описанного около этой окружности. Поскольку в задаче говорится о "стороне" треугольника в единственном числе, подразумевается, что треугольник является правильным (равносторонним). Обозначим сторону этого треугольника как $b_3$.

Для треугольника, описанного около окружности, эта окружность является вписанной. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности, который мы обозначим как $r$, связан с его стороной $b_3$ следующей формулой: $r = \frac{b_3}{2\sqrt{3}}$

Из шага 1 мы знаем, что радиус нашей окружности равен $a$. Так как эта окружность вписана в треугольник, ее радиус $r$ равен $a$. $r = R = a$

Подставим значение $r = a$ в формулу для стороны треугольника: $a = \frac{b_3}{2\sqrt{3}}$

Теперь выразим из этого уравнения сторону треугольника $b_3$: $b_3 = a \cdot 2\sqrt{3} = 2a\sqrt{3}$

Таким образом, сторона треугольника, описанного около данной окружности, равна $2a\sqrt{3}$.

Ответ: $2a\sqrt{3}$