Номер 11, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. В треугольнике $ABC$ известно, что $ \angle A = 20^\circ, \angle C = 30^\circ, AC = 14 $ см.

Окружность с центром в точке A касается прямой $BC$. Чему равна длина дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику $ABC$?

А) $ \frac{7\pi}{18} $ см

Б) $ \frac{7\pi}{9} $ см

В) $ \frac{7\pi}{12} $ см

Г) $ \frac{7\pi}{6} $ см

По условию задачи, окружность с центром в точке A касается прямой BC. Это означает, что радиус окружности $R$ равен расстоянию от точки A до прямой BC, то есть длине высоты треугольника ABC, проведенной из вершины A. Обозначим эту высоту как $h_a$.

Чтобы найти длину высоты $h_a$, опустим перпендикуляр AH из вершины A на прямую, содержащую сторону BC. В получившемся прямоугольном треугольнике AHC (с прямым углом при H) нам известна гипотенуза $AC = 14$ см и угол $\angle ACH$, который равен углу $\angle C$ треугольника ABC, то есть $\angle C = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла. Таким образом, мы можем вычислить радиус $R$:

$R = h_a = AH = AC \cdot \sin(\angle C) = 14 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, находим радиус:

$R = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ см.

Теперь необходимо найти длину дуги этой окружности, которая принадлежит треугольнику ABC. Эта дуга является частью окружности с центром в A, заключенной между сторонами AB и AC. Следовательно, центральный угол этой дуги равен углу A треугольника. По условию, $\angle A = 20^\circ$.

Длина дуги $L$ вычисляется по формуле:

$L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$, где $\alpha$ - величина центрального угла в градусах.

Подставляем в формулу известные значения $\alpha = 20^\circ$ и $R = 7$ см:

$L = \frac{20}{360} \cdot 2\pi \cdot 7 = \frac{1}{18} \cdot 14\pi = \frac{14\pi}{18} = \frac{7\pi}{9}$ см.

Полученный результат соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $\frac{7\pi}{9}$ см.