Номер 9, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Какой должна быть длина хорды окружности, радиус которой ра-вен $R$, чтобы длины дуг, на которые концы этой хорды делятокружность, относились как $2 : 1$?

А) $R$

Б) $2R$

В) $\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Г) $R\sqrt{3}$

Решение

Пусть $R$ — радиус окружности. Хорда делит окружность на две дуги, длины которых, по условию, относятся как 2:1.

Длина дуги пропорциональна величине центрального угла, который на нее опирается. Следовательно, центральные углы, соответствующие этим дугам, также относятся как 2:1. Обозначим эти углы как $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

$\alpha_1 : \alpha_2 = 2 : 1$

В сумме эти два угла составляют полный угол окружности, то есть $360^\circ$.

$\alpha_1 + \alpha_2 = 360^\circ$

Из соотношения $\alpha_1 = 2\alpha_2$ подставим это выражение в сумму:

$2\alpha_2 + \alpha_2 = 360^\circ$
$3\alpha_2 = 360^\circ$
$\alpha_2 = 120^\circ$

Таким образом, меньшая дуга стягивается центральным углом в $120^\circ$. Хорда, соединяющая концы этой дуги, является основанием равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны радиусу $R$, а угол между ними равен $120^\circ$.

Для нахождения длины хорды $L$ воспользуемся теоремой косинусов:

$L^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$L^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-1/2)$
$L^2 = 2R^2 + R^2$
$L^2 = 3R^2$

Отсюда длина хорды $L$ равна:

$L = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

Этот результат соответствует варианту Г).

Ответ: Г) $R\sqrt{3}$