Номер 12, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $6\sqrt{3}$ см, а радиус вписанной в него окружности – 9 см. Сколько сторон имеет многоугольник?

А) 6

Б) 12

В) 9

Г) 18

Для нахождения количества сторон правильного многоугольника воспользуемся соотношением между радиусом описанной окружности ($R$), радиусом вписанной окружности ($r$) и количеством сторон ($n$).

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя соседними вершинами многоугольника и его центром. Высота этого треугольника, опущенная из центра, является радиусом вписанной окружности ($r$), а боковые стороны являются радиусами описанной окружности ($R$). Эта высота делит угол при центре ($\frac{360^\circ}{n}$) пополам. В получившемся прямоугольном треугольнике катет $r$, гипотенуза $R$ и угол $\frac{180^\circ}{n}$ связаны следующей формулой:

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{r}{R}$

Из условия задачи нам даны значения радиусов:

$R = 6\sqrt{3}$ см

$r = 9$ см

Подставим эти значения в формулу:

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{9}{6\sqrt{3}}$

Теперь упростим полученную дробь. Сократим числитель и знаменатель на 3:

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Сократим дробь на 3:

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Мы получили стандартное значение косинуса. Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^\circ$. Следовательно:

$\frac{180^\circ}{n} = 30^\circ$

Найдем $n$ из этого уравнения:

$n = \frac{180^\circ}{30^\circ}$

$n = 6$

Таким образом, у правильного многоугольника 6 сторон.

Ответ: 6