Номер 10, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. На рисунке 65 изображён вписанный в окружность треугольник ABC, $\angle A = 30^\circ$, BC = $a$. Чему равна площадь сегмента, основание которого стягивает дугу BAC?

Рис. 65

А) $\frac{a^2(2\pi + 3\sqrt{3})}{12}$

В) $\frac{a^2(10\pi + 3\sqrt{3})}{12}$

Б) $\frac{a^2(2\pi - 3\sqrt{3})}{12}$

Г) $\frac{a^2(10\pi - 3\sqrt{3})}{12}$

Для решения задачи найдем площадь сегмента, основание которого — хорда BC, а дуга — большая дуга BAC. Площадь такого (большего) сегмента равна сумме площади соответствующего (большего) сектора и площади треугольника, образованного хордой и радиусами, проведенными к ее концам (треугольник OBC, где O — центр окружности).

1. Нахождение радиуса описанной окружности
Согласно обобщенной теореме синусов, для любого треугольника, вписанного в окружность, выполняется соотношение $ \frac{a}{\sin A} = 2R $, где $a$ — сторона треугольника, $A$ — противолежащий ей угол, а $R$ — радиус описанной окружности.В нашем случае дано $ BC = a $ и $ \angle A = 30^\circ $. Подставим эти значения:$ \frac{a}{\sin 30^\circ} = 2R $
Поскольку $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:$ \frac{a}{1/2} = 2R \Rightarrow 2a = 2R \Rightarrow R = a $.Таким образом, радиус описанной окружности равен $a$.

2. Нахождение центрального угла и площади треугольника OBC
Пусть O — центр окружности. Центральный угол $ \angle BOC $ опирается на меньшую дугу BC, так же как и вписанный угол $ \angle A $. Величина центрального угла вдвое больше величины вписанного, опирающегося на ту же дугу:$ \angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ $.
Рассмотрим треугольник OBC. Его стороны $ OB $ и $ OC $ являются радиусами окружности, поэтому $ OB = OC = R = a $. Угол между ними $ \angle BOC = 60^\circ $.Площадь треугольника OBC можно найти по формуле $ S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma $:$ S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $.

3. Нахождение площади большего сектора
Искомый сегмент стягивает большую дугу BAC. Угол, соответствующий этой дуге (угол большего сектора), равен $ 360^\circ - \angle BOC = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ $.Площадь сектора вычисляется по формуле $ S_{сектор} = \frac{\alpha}{360^\circ}\pi R^2 $:$ S_{большего\_сектора} = \frac{300^\circ}{360^\circ} \pi a^2 = \frac{5}{6}\pi a^2 $.

4. Нахождение площади сегмента
Площадь большего сегмента равна сумме площади большего сектора и площади треугольника OBC:$ S_{сегмента} = S_{большего\_сектора} + S_{\triangle OBC} = \frac{5\pi a^2}{6} + \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $.
Приведем слагаемые к общему знаменателю 12:$ S_{сегмента} = \frac{10\pi a^2}{12} + \frac{3a^2\sqrt{3}}{12} = \frac{10\pi a^2 + 3a^2\sqrt{3}}{12} $.
Вынесем общий множитель $ a^2 $ за скобки:$ S_{сегмента} = \frac{a^2(10\pi + 3\sqrt{3})}{12} $.Данное выражение соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) $ \frac{a^2(10\pi + 3\sqrt{3})}{12} $