Номер 1, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

Чтобы найти расстояние между двумя точками по их координатам, используется формула, которая зависит от размерности пространства (на прямой, на плоскости или в пространстве). В общем случае формула является обобщением теоремы Пифагора.

Расстояние на координатной прямой (в одномерном пространстве)

Пусть даны две точки $A$ и $B$ на координатной прямой с координатами $x_1$ и $x_2$ соответственно. Расстояние $d$ между этими точками равно модулю (абсолютной величине) разности их координат.

Формула для вычисления расстояния:

$d = |x_2 - x_1|$

Пример: найти расстояние между точками $A(-2)$ и $B(5)$.
Решение: $d = |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7$.

Ответ: Расстояние между точками $A(x_1)$ и $B(x_2)$ на прямой вычисляется по формуле $d = |x_2 - x_1|$.

Расстояние на координатной плоскости (в двумерном пространстве)

Пусть даны две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости. Чтобы найти расстояние $d$ между ними, нужно найти квадратный корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат. Эта формула является прямым следствием теоремы Пифагора, где расстояние $d$ — это гипотенуза, а разности координат $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$ — катеты прямоугольного треугольника.

Формула для вычисления расстояния:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Пример: найти расстояние между точками $A(1, 2)$ и $B(4, 6)$.
Решение: $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Расстояние между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Расстояние в трехмерном пространстве

Формула для плоскости обобщается и для трехмерного пространства. Пусть даны две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$. Расстояние $d$ между ними равно квадратному корню из суммы квадратов разностей их соответствующих координат по всем трем осям.

Формула для вычисления расстояния:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Пример: найти расстояние между точками $A(1, 0, -2)$ и $B(3, 4, 0)$.
Решение: $d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Ответ: Расстояние между точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.