Номер 294, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

294. Докажите, что точка $M(0; -1)$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $A(6; -9)$, $B(-6; 7)$, $C(8; 5)$.

Центр описанной около треугольника окружности — это точка, равноудаленная от всех трех вершин этого треугольника. Чтобы доказать, что точка $M(0; -1)$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$ с вершинами $A(6; -9)$, $B(-6; 7)$ и $C(8; 5)$, необходимо показать, что расстояния от точки $M$ до каждой из вершин равны, то есть $MA = MB = MC$.

Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Чтобы упростить вычисления, будем сравнивать квадраты расстояний $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Найдем квадрат расстояния от точки M до точки A (MA²):
$MA^2 = (6 - 0)^2 + (-9 - (-1))^2 = 6^2 + (-9 + 1)^2 = 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$.

2. Найдем квадрат расстояния от точки M до точки B (MB²):
$MB^2 = (-6 - 0)^2 + (7 - (-1))^2 = (-6)^2 + (7 + 1)^2 = (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

3. Найдем квадрат расстояния от точки M до точки C (MC²):
$MC^2 = (8 - 0)^2 + (5 - (-1))^2 = 8^2 + (5 + 1)^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.

Мы видим, что квадраты расстояний от точки M до всех вершин треугольника равны: $MA^2 = MB^2 = MC^2 = 100$.
Следовательно, и сами расстояния равны: $MA = MB = MC = \sqrt{100} = 10$.

Поскольку точка M равноудалена от всех трех вершин треугольника ABC, она по определению является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: Так как расстояния от точки M(0; -1) до вершин треугольника A(6; -9), B(-6; 7) и C(8; 5) равны между собой ($MA = MB = MC = 10$), то точка M является центром описанной около треугольника ABC окружности. Что и требовалось доказать.