Страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

Чтобы найти расстояние между двумя точками по их координатам, используется формула, которая зависит от размерности пространства (на прямой, на плоскости или в пространстве). В общем случае формула является обобщением теоремы Пифагора.

Расстояние на координатной прямой (в одномерном пространстве)

Пусть даны две точки $A$ и $B$ на координатной прямой с координатами $x_1$ и $x_2$ соответственно. Расстояние $d$ между этими точками равно модулю (абсолютной величине) разности их координат.

Формула для вычисления расстояния:

$d = |x_2 - x_1|$

Пример: найти расстояние между точками $A(-2)$ и $B(5)$.
Решение: $d = |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7$.

Ответ: Расстояние между точками $A(x_1)$ и $B(x_2)$ на прямой вычисляется по формуле $d = |x_2 - x_1|$.

Расстояние на координатной плоскости (в двумерном пространстве)

Пусть даны две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости. Чтобы найти расстояние $d$ между ними, нужно найти квадратный корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат. Эта формула является прямым следствием теоремы Пифагора, где расстояние $d$ — это гипотенуза, а разности координат $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$ — катеты прямоугольного треугольника.

Формула для вычисления расстояния:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Пример: найти расстояние между точками $A(1, 2)$ и $B(4, 6)$.
Решение: $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Расстояние между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Расстояние в трехмерном пространстве

Формула для плоскости обобщается и для трехмерного пространства. Пусть даны две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$. Расстояние $d$ между ними равно квадратному корню из суммы квадратов разностей их соответствующих координат по всем трем осям.

Формула для вычисления расстояния:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Пример: найти расстояние между точками $A(1, 0, -2)$ и $B(3, 4, 0)$.
Решение: $d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Ответ: Расстояние между точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

2. Как найти координаты середины отрезка, если известны координаты его концов?

Чтобы найти координаты середины отрезка, зная координаты его концов, нужно найти среднее арифметическое каждой из соответствующих координат. Другими словами, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

На координатной плоскости (в двумерном пространстве)

Пусть концы отрезка AB заданы координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Если точка $C(x_c, y_c)$ является серединой этого отрезка, то её координаты вычисляются по формулам:

Абсцисса (координата x) середины: $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Ордината (координата y) середины: $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$

В пространстве (в трехмерном пространстве)

Аналогично, если концы отрезка AB в пространстве имеют координаты $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, то координаты его середины $C(x_c, y_c, z_c)$ находятся по следующим формулам:

Абсцисса (координата x) середины: $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Ордината (координата y) середины: $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Аппликата (координата z) середины: $z_c = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Ответ: Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

291. Найдите расстояние между точками A и B, если:

1) A (10; 14), B (5; 2);

2) A (-1; 2), B (4; -3).

Для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на плоскости используется формула расстояния:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1) $A (10; 14)$, $B (5; 2)$

Подставим координаты точек $A$ и $B$ в формулу. Здесь $x_1 = 10$, $y_1 = 14$, $x_2 = 5$, $y_2 = 2$.

$d = \sqrt{(5 - 10)^2 + (2 - 14)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Ответ: 13

2) $A (-1; 2)$, $B (4; -3)$

Подставим координаты точек $A$ и $B$ в формулу. Здесь $x_1 = -1$, $y_1 = 2$, $x_2 = 4$, $y_2 = -3$.

$d = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(4 + 1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$

Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Ответ: $5\sqrt{2}$

292. Найдите расстояние между точками $C$ и $D$, если:

1) $C(-2; -4)$, $D(4; -12)$;

2) $C(6; 3)$, $D(7; -1)$.

Для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $C(x_1; y_1)$ и $D(x_2; y_2)$ на плоскости используется следующая формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Применим эту формулу для каждого случая.

1) C (-2; -4), D (4; -12)

Пусть $x_1 = -2$, $y_1 = -4$ и $x_2 = 4$, $y_2 = -12$.

Подставим эти значения в формулу:

$CD = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-12 - (-4))^2} = \sqrt{(4 + 2)^2 + (-12 + 4)^2}$

$CD = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}$

$CD = 10$

Ответ: 10

2) C (6; 3), D (7; -1)

Пусть $x_1 = 6$, $y_1 = 3$ и $x_2 = 7$, $y_2 = -1$.

Подставим эти значения в формулу:

$CD = \sqrt{(7 - 6)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2}$

$CD = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

Ответ: $\sqrt{17}$

293. Вершинами треугольника являются точки $A (-1; 3)$, $B (5; 9)$, $C (6; 2)$.

Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник является равнобедренным, нужно показать, что две из его сторон имеют одинаковую длину. Найдем длины сторон треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-1; 3)$, $B(5; 9)$ и $C(6; 2)$, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Найдем длину стороны $AB$:
$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{(5 + 1)^2 + 6^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72}$.

2. Найдем длину стороны $BC$:
$BC = \sqrt{(6 - 5)^2 + (2 - 9)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$.

3. Найдем длину стороны $AC$:
$AC = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(6 + 1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{7^2 + 1} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$.

Мы видим, что длины сторон $BC$ и $AC$ равны: $BC = AC = \sqrt{50}$.
Поскольку у треугольника $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным.

Ответ: Так как длины сторон $AC$ и $BC$ равны $\sqrt{50}$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

294. Докажите, что точка $M(0; -1)$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $A(6; -9)$, $B(-6; 7)$, $C(8; 5)$.

Центр описанной около треугольника окружности — это точка, равноудаленная от всех трех вершин этого треугольника. Чтобы доказать, что точка $M(0; -1)$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$ с вершинами $A(6; -9)$, $B(-6; 7)$ и $C(8; 5)$, необходимо показать, что расстояния от точки $M$ до каждой из вершин равны, то есть $MA = MB = MC$.

Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Чтобы упростить вычисления, будем сравнивать квадраты расстояний $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Найдем квадрат расстояния от точки M до точки A (MA²):
$MA^2 = (6 - 0)^2 + (-9 - (-1))^2 = 6^2 + (-9 + 1)^2 = 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$.

2. Найдем квадрат расстояния от точки M до точки B (MB²):
$MB^2 = (-6 - 0)^2 + (7 - (-1))^2 = (-6)^2 + (7 + 1)^2 = (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

3. Найдем квадрат расстояния от точки M до точки C (MC²):
$MC^2 = (8 - 0)^2 + (5 - (-1))^2 = 8^2 + (5 + 1)^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.

Мы видим, что квадраты расстояний от точки M до всех вершин треугольника равны: $MA^2 = MB^2 = MC^2 = 100$.
Следовательно, и сами расстояния равны: $MA = MB = MC = \sqrt{100} = 10$.

Поскольку точка M равноудалена от всех трех вершин треугольника ABC, она по определению является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: Так как расстояния от точки M(0; -1) до вершин треугольника A(6; -9), B(-6; 7) и C(8; 5) равны между собой ($MA = MB = MC = 10$), то точка M является центром описанной около треугольника ABC окружности. Что и требовалось доказать.

295. Докажите, что углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны, если $A (5; -7)$, $B (-3; 8)$, $C (-10; -15)$.

Для того чтобы доказать, что углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны, необходимо доказать, что треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углу $B$ противолежит сторона $AC$, а углу $C$ — сторона $AB$. Следовательно, нам нужно показать, что длины этих сторон равны: $AB = AC$.

Для нахождения длин сторон воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Даны координаты вершин треугольника: $A(5; -7)$, $B(-3; 8)$ и $C(-10; -15)$.

Вычислим длину стороны $AB$, соединяющей точки $A(5; -7)$ и $B(-3; 8)$:
$AB = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (8 - (-7))^2} = \sqrt{(-8)^2 + (15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

Вычислим длину стороны $AC$, соединяющей точки $A(5; -7)$ и $C(-10; -15)$:
$AC = \sqrt{(-10 - 5)^2 + (-15 - (-7))^2} = \sqrt{(-15)^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Поскольку $AB = 17$ и $AC = 17$, мы доказали, что стороны $AB$ и $AC$ равны.

Ответ: Так как стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ равны ($AB = AC = 17$), то треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, следовательно, $\angle B = \angle C$.

296. Найдите координаты середины отрезка $BC$, если:

1) $B (5; 4), C (3; 2);$

2) $B (-2; -1), C (-1; 7).$

Для нахождения координат середины отрезка используется следующая формула: если даны две точки с координатами $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, то координаты середины $M(x_m; y_m)$ этого отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов.

Формулы для координат середины отрезка:

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Применим эти формулы для решения задачи.

1)

Даны координаты точек $B(5; 4)$ и $C(3; 2)$. Обозначим координаты середины отрезка $BC$ как $(x; y)$.

Найдём координату $x$:

$x = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Найдём координату $y$:

$y = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Следовательно, координаты середины отрезка $BC$ равны $(4; 3)$.

Ответ: $(4; 3)$.

2)

Даны координаты точек $B(-2; -1)$ и $C(-1; 7)$. Обозначим координаты середины отрезка $BC$ как $(x; y)$.

Найдём координату $x$:

$x = \frac{-2 + (-1)}{2} = \frac{-2 - 1}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$

Найдём координату $y$:

$y = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Следовательно, координаты середины отрезка $BC$ равны $(-1.5; 3)$.

Ответ: $(-1.5; 3)$.

297. Точка $C$ – середина отрезка $AB$. Найдите координаты точки $B$, если:

1) $A(3; -4)$, $C(2; 1)$;

2) $A(-1; 1)$, $C(0.5; -1)$.

Поскольку точка $C(x_C; y_C)$ является серединой отрезка $AB$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, ее координаты вычисляются по формулам:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$
Чтобы найти координаты точки $B$, которые являются искомыми, выразим $x_B$ и $y_B$ из этих формул:
$2x_C = x_A + x_B \Rightarrow x_B = 2x_C - x_A$
$2y_C = y_A + y_B \Rightarrow y_B = 2y_C - y_A$

1) A (3; -4), C (2; 1);

Подставим известные координаты точек $A(3; -4)$ и $C(2; 1)$ в выведенные формулы для нахождения координат точки $B(x_B; y_B)$:
$x_B = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$
$y_B = 2 \cdot 1 - (-4) = 2 + 4 = 6$
Следовательно, координаты точки $B$ равны $(1; 6)$.

Ответ: B(1; 6).

2) A (-1; 1), C (0,5; -1).

Подставим известные координаты точек $A(-1; 1)$ и $C(0,5; -1)$ в те же формулы для нахождения координат точки $B(x_B; y_B)$:
$x_B = 2 \cdot 0,5 - (-1) = 1 + 1 = 2$
$y_B = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$
Следовательно, координаты точки $B$ равны $(2; -3)$.

Ответ: B(2; -3).

298. Точка $K$ – середина отрезка $AD$. Заполните таблицу.

По условию задачи, точка $K$ является серединой отрезка $AD$. Координаты середины отрезка $K(x_K; y_K)$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $D(x_D; y_D)$ находятся по формулам:

$x_K = \frac{x_A + x_D}{2}$

$y_K = \frac{y_A + y_D}{2}$

Используя эти формулы, мы можем найти как координаты середины, так и координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины. Решим задачу для каждого столбца таблицы.

Для первого столбца

Даны координаты точек $A(-3; 1)$ и $D(-1; -3)$. Необходимо найти координаты середины отрезка, точки $K$.

Вычисляем координаты точки $K$:

$x_K = \frac{x_A + x_D}{2} = \frac{-3 + (-1)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_K = \frac{y_A + y_D}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, координаты точки $K$ — $(-2; -1)$.

Ответ: $K(-2; -1)$

Для второго столбца

Даны координаты точки $A(-8; 2)$ и середины отрезка $K(-4; 6)$. Необходимо найти координаты точки $D$.

Выразим координаты точки $D$ из формул середины отрезка:

$x_D = 2x_K - x_A$

$y_D = 2y_K - y_A$

Подставляем известные значения:

$x_D = 2 \cdot (-4) - (-8) = -8 + 8 = 0$

$y_D = 2 \cdot 6 - 2 = 12 - 2 = 10$

Таким образом, координаты точки $D$ — $(0; 10)$.

Ответ: $D(0; 10)$

Для третьего столбца

Даны координаты точки $D(-9; 2)$ и середины отрезка $K(1; 2)$. Необходимо найти координаты точки $A$.

Выразим координаты точки $A$ из формул середины отрезка:

$x_A = 2x_K - x_D$

$y_A = 2y_K - y_D$

Подставляем известные значения:

$x_A = 2 \cdot 1 - (-9) = 2 + 9 = 11$

$y_A = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$

Таким образом, координаты точки $A$ — $(11; 2)$.

Ответ: $A(11; 2)$

В результате получаем заполненную таблицу:

299. Найдите медиану $BM$ треугольника, вершинами которого являются точки $A (3; -2)$, $B (2; 3)$ и $C (7; 4)$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ — это отрезок, соединяющий вершину $B$ с серединой $M$ противолежащей стороны $AC$. Для нахождения длины медианы $BM$ необходимо сначала определить координаты точки $M$, а затем найти расстояние между точками $B$ и $M$.

1. Найдём координаты точки $M$, которая является серединой отрезка $AC$. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Для точек $A(3; -2)$ и $C(7; 4)$ координаты середины $M$ будут:
$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(5; 1)$.

2. Теперь найдём длину медианы $BM$. Длина отрезка — это расстояние между его концами. Расстояние между точками $B(2; 3)$ и $M(5; 1)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Подставим координаты точек $B$ и $M$ в эту формулу:
$BM = \sqrt{(5 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Ответ: $\sqrt{13}$

300. Даны точки $A(-2; 4)$ и $B(2; -8)$. Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка $AB$.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти координаты середины отрезка AB, а затем вычислить расстояние от этой точки до начала координат.

1. Найдём координаты середины отрезка AB.
Пусть C(x_c; y_c) — середина отрезка с концами в точках A(x_A; y_A) и B(x_B; y_B). Её координаты вычисляются по формулам:
$x_c = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_c = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим координаты данных точек A(-2; 4) и B(2; -8):
$x_c = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_c = \frac{4 + (-8)}{2} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, координаты середины отрезка AB, точки C, равны (0; -2).

2. Найдём расстояние от начала координат O(0; 0) до точки C(0; -2).
Расстояние d между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находится по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек O и C:
$d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$

Следовательно, расстояние от начала координат до середины отрезка AB равно 2.

Ответ: 2