Страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

331. Радиус окружности с центром в точке $A$ равен 4 (рис. 77). Составьте уравнение этой окружности.

Рис. 77

a

б

Общее уравнение окружности с центром в точке $A(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. По условию задачи, радиус $R=4$.

а

Из рисунка 77, а видно, что центр окружности, точка $A$, лежит на оси абсцисс $Ox$. Это означает, что её ордината $b = 0$. Окружность проходит через начало координат $O(0; 0)$. Расстояние от центра $A(a; 0)$ до точки $O(0; 0)$ равно радиусу окружности. Поскольку точка $A$ находится на отрицательной части оси $Ox$, её абсцисса $a$ отрицательна. Расстояние $AO = \sqrt{(0-a)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{a^2} = |a| = -a$. Так как $AO = R = 4$, получаем $-a=4$, откуда $a=-4$. Таким образом, координаты центра окружности $A(-4; 0)$. Подставим найденные значения $a=-4$, $b=0$ и $R=4$ в общее уравнение окружности: $(x - (-4))^2 + (y - 0)^2 = 4^2$ $(x + 4)^2 + y^2 = 16$

Ответ: $(x + 4)^2 + y^2 = 16$.

б

Из рисунка 77, б видно, что окружность касается обеих координатных осей и её центр, точка $A$, находится в IV координатной четверти. Если окружность касается осей координат, то расстояния от её центра до осей равны радиусу. Расстояние от центра $A(a; b)$ до оси $Ox$ равно $|b|$, а до оси $Oy$ равно $|a|$. Следовательно, $|a| = R = 4$ и $|b| = R = 4$. Так как центр $A$ находится в IV четверти, его абсцисса $a$ положительна, а ордината $b$ отрицательна. Значит, $a = 4$ и $b = -4$. Координаты центра окружности $A(4; -4)$. Подставим найденные значения $a=4$, $b=-4$ и $R=4$ в общее уравнение окружности: $(x - 4)^2 + (y - (-4))^2 = 4^2$ $(x - 4)^2 + (y + 4)^2 = 16$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 4)^2 = 16$.

332. Постройте на координатной плоскости окружность, уравнение которой имеет вид:

1) $x^2 + y^2 = 4$;

2) $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.

Общее уравнение окружности на координатной плоскости имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус. Для построения окружности необходимо найти ее центр и радиус.

1) $x^2 + y^2 = 4$

Данное уравнение является частным случаем общего уравнения окружности. Его можно представить в стандартном виде как $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$.
Сравнивая это уравнение с общим видом, находим параметры окружности:
Координаты центра: $(a; b) = (0; 0)$. То есть центр окружности находится в начале координат.
Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус $R = \sqrt{4} = 2$.
Чтобы построить эту окружность, нужно установить ножку циркуля в точку (0; 0), задать радиус, равный 2, и провести окружность. Она пересечет оси координат в точках (2; 0), (-2; 0), (0; 2) и (0; -2).

Ответ: Это окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 2.

2) $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Представим уравнение в стандартном виде, чтобы явно видеть координаты центра: $(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 5^2$.
Сравнивая это уравнение с общим видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, находим параметры окружности:
Координаты центра: $(a; b) = (-1; 2)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 25$, следовательно, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.
Чтобы построить эту окружность, нужно установить ножку циркуля в точку с координатами (-1; 2), задать радиус, равный 5, и провести окружность. Для удобства построения можно найти точки, лежащие на окружности: например, сместившись от центра на 5 единиц вправо, влево, вверх и вниз, получим точки (4; 2), (-6; 2), (-1; 7) и (-1; -3).

Ответ: Это окружность с центром в точке (-1; 2) и радиусом 5.

333. Постройте на координатной плоскости окружность, уравнение которой имеет вид $ (x - 4)^2 + y^2 = 9. $

Для построения окружности по ее уравнению необходимо определить координаты ее центра и величину радиуса. Каноническое уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Проанализируем данное в задаче уравнение: $(x - 4)^2 + y^2 = 9$.

Его можно представить в каноническом виде как: $(x - 4)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.

Сравнивая это уравнение с каноническим, мы можем определить параметры нашей окружности:

• Координаты центра $(a; b)$ равны $(4; 0)$.
• Радиус $R$ равен $3$.

Теперь мы можем построить окружность на координатной плоскости, выполнив следующие шаги:

1. Начертить систему координат с осями $x$ и $y$.
2. Отметить на плоскости центр окружности — точку с координатами $(4; 0)$. Эта точка лежит на оси абсцисс.
3. С помощью циркуля, установив его ножку в центр $(4; 0)$, а грифель на расстоянии 3 единичных отрезка, провести окружность.
4. Если циркуля нет, можно найти несколько ключевых точек на окружности. От центра $(4; 0)$ отложим расстояние, равное радиусу (3 единицы), в четырех направлениях:
   • Вправо: точка $(4+3; 0) = (7; 0)$.
   • Влево: точка $(4-3; 0) = (1; 0)$.
   • Вверх: точка $(4; 0+3) = (4; 3)$.
   • Вниз: точка $(4; 0-3) = (4; -3)$.
5. Соединить эти четыре точки плавной линией, чтобы получить изображение окружности.

Таким образом, на координатной плоскости будет построена окружность, центр которой находится в точке $(4; 0)$ на оси $Ox$, и которая проходит через точки $(1; 0)$, $(7; 0)$, $(4; 3)$ и $(4; -3)$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(4; 0)$ и радиусом 3.

334. Окружность задана уравнением $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 = 10$. Выясните, какие из точек $A (-3; 0)$, $B (-5; -2)$, $C (1; 0)$, $D (-4; 3)$, $E (-7; -3)$, $F (-9; 0)$ лежат:

1) на окружности;

2) внутри окружности;

3) вне окружности.

Уравнение окружности задано в каноническом виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. В нашем случае уравнение $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 = 10$ описывает окружность с центром в точке $O(-6, 1)$ и квадратом радиуса $R^2 = 10$.

Чтобы определить, где находится точка относительно окружности, нужно подставить ее координаты $(x, y)$ в левую часть уравнения, в выражение $S = (x + 6)^2 + (y - 1)^2$, и сравнить полученный результат с $10$:

- Если $S = 10$, точка лежит на окружности.

- Если $S < 10$, точка лежит внутри окружности (внутри круга, ограниченного этой окружностью).

- Если $S > 10$, точка лежит вне окружности.

Выполним проверку для каждой из заданных точек:

Для точки A(-3; 0): $S = (-3 + 6)^2 + (0 - 1)^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$.

Для точки B(-5; -2): $S = (-5 + 6)^2 + (-2 - 1)^2 = 1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$.

Для точки C(1; 0): $S = (1 + 6)^2 + (0 - 1)^2 = 7^2 + (-1)^2 = 49 + 1 = 50$.

Для точки D(-4; 3): $S = (-4 + 6)^2 + (3 - 1)^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

Для точки E(-7; -3): $S = (-7 + 6)^2 + (-3 - 1)^2 = (-1)^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.

Для точки F(-9; 0): $S = (-9 + 6)^2 + (0 - 1)^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$.

1) на окружности

Точки лежат на окружности, если для их координат $(x, y)$ выполняется равенство $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 = 10$. Согласно нашим вычислениям, это равенство выполняется для точек A, B и F.
Ответ: A, B, F.

2) внутри окружности

Точки лежат внутри окружности, если для их координат $(x, y)$ выполняется неравенство $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 < 10$. Согласно нашим вычислениям, это неравенство выполняется для точки D, так как $8 < 10$.
Ответ: D.

3) вне окружности

Точки лежат вне окружности, если для их координат $(x, y)$ выполняется неравенство $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 > 10$. Согласно нашим вычислениям, это неравенство выполняется для точек C ( $50 > 10$ ) и E ( $17 > 10$ ).
Ответ: C, E.

335. Принадлежит ли окружности $(x-2)^2 + (y+2)^2 = 100$ точка:

1) A (8; -8);

2) B (6; -9);

3) C (-8; 7);

4) D (-4; 6)?

Уравнение окружности задано формулой: $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 100$.

Чтобы проверить, принадлежит ли точка окружности, нужно подставить ее координаты $x$ и $y$ в это уравнение. Если в результате подстановки получится верное равенство (то есть левая часть будет равна 100), то точка принадлежит окружности. В противном случае — не принадлежит.

1) A (8; –8)

Подставляем координаты точки A ($x = 8$, $y = -8$) в левую часть уравнения:

$(8 - 2)^2 + (-8 + 2)^2 = 6^2 + (-6)^2 = 36 + 36 = 72$

Полученное значение $72$ не равно $100$ ($72 \neq 100$), следовательно, точка A не принадлежит окружности.

Ответ: нет.

2) B (6; –9)

Подставляем координаты точки B ($x = 6$, $y = -9$) в левую часть уравнения:

$(6 - 2)^2 + (-9 + 2)^2 = 4^2 + (-7)^2 = 16 + 49 = 65$

Полученное значение $65$ не равно $100$ ($65 \neq 100$), следовательно, точка B не принадлежит окружности.

Ответ: нет.

3) C (–3; 7)

Подставляем координаты точки C ($x = -3$, $y = 7$) в левую часть уравнения:

$(-3 - 2)^2 + (7 + 2)^2 = (-5)^2 + 9^2 = 25 + 81 = 106$

Полученное значение $106$ не равно $100$ ($106 \neq 100$), следовательно, точка C не принадлежит окружности.

Ответ: нет.

4) D (–4; 6)

Подставляем координаты точки D ($x = -4$, $y = 6$) в левую часть уравнения:

$(-4 - 2)^2 + (6 + 2)^2 = (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Полученное значение $100$ равно правой части уравнения ($100 = 100$), следовательно, точка D принадлежит окружности.

Ответ: да.

336. Составьте уравнение окружности с центром в точке $M (-3; 1)$, проходящей через точку $K (-1; 5)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности находится в точке $M(-3; 1)$. Следовательно, координаты центра $x_0 = -3$ и $y_0 = 1$. Подставив эти значения в общее уравнение, получим:

$(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = R^2$

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = R^2$

Для того чтобы найти уравнение окружности, необходимо определить ее радиус $R$. Так как окружность проходит через точку $K(-1; 5)$, то ее радиус равен расстоянию от центра $M$ до точки $K$. Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $M$ и $K$ по формуле:

$R^2 = (x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2$

Подставим координаты точек $M(-3; 1)$ и $K(-1; 5)$:

$R^2 = (-1 - (-3))^2 + (5 - 1)^2 = (-1 + 3)^2 + 4^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

Теперь подставим найденное значение $R^2 = 20$ в уравнение окружности:

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 20$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 20$

337. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если $A (2; -7)$, $B (-2; 3)$.

Уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Для того чтобы составить уравнение окружности, нам необходимо найти координаты её центра и радиус.

1. Нахождение координат центра окружности.

Центр окружности является серединой её диаметра. В данном случае, центр окружности $O$ — это середина отрезка $AB$. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов.

Пусть $A(x_A, y_A) = (2, -7)$ и $B(x_B, y_B) = (-2, 3)$. Координаты центра $O(x_0, y_0)$ будут:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, центр окружности находится в точке $O(0, -2)$.

2. Нахождение радиуса окружности.

Радиус $r$ окружности равен половине длины диаметра $AB$. Найдем длину диаметра по формуле расстояния между двумя точками:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

$AB = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (3 - (-7))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116}$

Радиус $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{116}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 29}}{2} = \frac{2\sqrt{29}}{2} = \sqrt{29}$

Для уравнения окружности нам понадобится квадрат радиуса:

$r^2 = (\sqrt{29})^2 = 29$

3. Составление уравнения окружности.

Теперь подставим найденные координаты центра $O(0, -2)$ и квадрат радиуса $r^2 = 29$ в стандартное уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = 29$

Упрощая, получаем:

$x^2 + (y + 2)^2 = 29$

Ответ: $x^2 + (y + 2)^2 = 29$

338. Докажите, что отрезок $AB$ является диаметром окружности $(x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 17$, если $A (1; -5)$, $B (9; -3)$.

Для того чтобы доказать, что отрезок AB является диаметром окружности, нужно установить, что:

1. Обе точки, A и B, лежат на данной окружности.
2. Центр окружности является серединой отрезка AB.

Проверим, лежат ли точки A и B на окружности

Уравнение окружности задано как $(x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 17$.

Подставим координаты точки $A(1; -5)$ в уравнение:

$(1 - 5)^2 + (-5 + 4)^2 = (-4)^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.

Равенство $17 = 17$ верно, следовательно, точка A лежит на окружности.

Подставим координаты точки $B(9; -3)$ в уравнение:

$(9 - 5)^2 + (-3 + 4)^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$.

Равенство $17 = 17$ верно, следовательно, точка B также лежит на окружности.

Первое условие выполнено.

Найдем центр окружности и середину отрезка AB

Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра.Из уравнения $(x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 17$ следует, что центр окружности O имеет координаты $O(5; -4)$.

Теперь найдем координаты середины M отрезка AB, используя формулы для нахождения координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим координаты точек $A(1; -5)$ и $B(9; -3)$:

$x_M = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_M = \frac{-5 + (-3)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Координаты середины отрезка AB равны $M(5; -4)$.

Сравнивая координаты, видим, что координаты центра окружности $O(5; -4)$ и координаты середины отрезка $M(5; -4)$ совпадают.

Второе условие выполнено.

Поскольку обе точки A и B лежат на окружности, и ее центр является серединой отрезка AB, то отрезок AB является диаметром данной окружности.

Ответ: Что и требовалось доказать.

339. Докажите, что отрезок $CD$ является хордой окружности $x^2 + (y - 9)^2 = 169$, если $C(5; -3)$, $D(-12; 4)$.

Для того чтобы доказать, что отрезок CD является хордой окружности, необходимо показать, что его концы — точки C и D — лежат на этой окружности. Точка принадлежит окружности, если ее координаты удовлетворяют уравнению этой окружности.

Уравнение данной окружности: $x^2 + (y - 9)^2 = 169$.

Сначала проверим, принадлежит ли точка C(5; -3) окружности. Для этого подставим ее координаты ($x=5$, $y=-3$) в левую часть уравнения:
$5^2 + (-3 - 9)^2 = 25 + (-12)^2 = 25 + 144 = 169$.
Поскольку $169 = 169$, равенство выполняется. Следовательно, точка C лежит на окружности.

Теперь проверим, принадлежит ли точка D(-12; 4) окружности. Подставим ее координаты ($x=-12$, $y=4$) в левую часть уравнения:
$(-12)^2 + (4 - 9)^2 = 144 + (-5)^2 = 144 + 25 = 169$.
Поскольку $169 = 169$, равенство также выполняется. Следовательно, точка D тоже лежит на окружности.

Так как обе точки C и D, являющиеся концами отрезка CD, лежат на окружности, то по определению отрезок CD является хордой этой окружности.

Ответ: Утверждение доказано.

340. Составьте уравнение окружности, центром которой является точка $P(-6; 7)$ и которая касается оси ординат.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $r$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Согласно условию, центром окружности является точка $P(-6; 7)$. Следовательно, координаты центра: $a = -6$ и $b = 7$.

Подставив эти значения в общее уравнение, получим:

$(x - (-6))^2 + (y - 7)^2 = r^2$

$(x + 6)^2 + (y - 7)^2 = r^2$

Известно, что окружность касается оси ординат. Ось ординат — это вертикальная прямая, все точки которой имеют абсциссу, равную нулю, то есть ее уравнение $x = 0$.

Радиус окружности, касающейся прямой, равен расстоянию от ее центра до этой прямой. Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до вертикальной прямой $x=c$ равно $|x_0 - c|$. В нашем случае, центр окружности находится в точке $(-6; 7)$, а прямая касания - это ось $y$ ($x=0$).

Таким образом, радиус $r$ равен расстоянию от точки $P(-6; 7)$ до оси ординат, которое равно абсолютному значению абсциссы центра:

$r = |-6| = 6$

Теперь найдем квадрат радиуса:

$r^2 = 6^2 = 36$

Подставим значение $r^2$ в уравнение окружности, чтобы получить окончательный вид:

$(x + 6)^2 + (y - 7)^2 = 36$

Ответ: $(x + 6)^2 + (y - 7)^2 = 36$

341. Составьте уравнение окружности, центр которой находится на прямой $y = -5$ и которая касается оси абсцисс в точке $S (2; 0)$.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Чтобы составить уравнение, нам необходимо найти координаты центра $(x_0, y_0)$ и радиус $R$.

1. По условию, центр окружности находится на прямой $y = -5$. Это означает, что ордината центра $y_0 = -5$.

2. Окружность касается оси абсцисс (оси $Ox$) в точке $S(2; 0)$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (в данном случае, оси $Ox$). Так как ось $Ox$ — это горизонтальная прямая, то радиус, соединяющий центр с точкой касания $S$, является отрезком вертикальной прямой. Это значит, что центр окружности и точка касания $S$ должны иметь одинаковую абсциссу. Абсцисса точки $S$ равна 2, следовательно, абсцисса центра $x_0 = 2$.

Таким образом, мы определили координаты центра окружности: $C(2; -5)$.

3. Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра до любой точки на окружности. В частности, это расстояние от центра $C(2; -5)$ до точки касания $S(2; 0)$. Так как обе точки лежат на одной вертикальной прямой ($x=2$), расстояние между ними равно модулю разности их ординат:

$R = |y_C - y_S| = |-5 - 0| = |-5| = 5$.

4. Теперь подставим найденные значения координат центра $(x_0=2, y_0=-5)$ и радиус $R=5$ в стандартное уравнение окружности:

$(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$

$(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$

342. Сколько существует окружностей, проходящих через точку (3; 5), радиусы которых равны $3\sqrt{5}$ и центры которых принадлежат оси ординат? Запишите уравнение каждой такой окружности.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $R$ записывается в виде: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Из условия задачи известно, что центры окружностей принадлежат оси ординат (оси OY). Это значит, что абсцисса центра $a$ равна нулю. Таким образом, центр окружности имеет координаты $(0; b)$.

Также по условию радиус окружности $R = 3\sqrt{5}$. Возведем радиус в квадрат, чтобы подставить в уравнение: $R^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

С учетом этих данных уравнение искомой окружности принимает вид: $x^2 + (y - b)^2 = 45$.

Окружность проходит через точку $(3; 5)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим значения $x = 3$ и $y = 5$ в уравнение, чтобы найти неизвестную координату центра $b$: $3^2 + (5 - b)^2 = 45$

Теперь решим полученное уравнение: $9 + (5 - b)^2 = 45$ $(5 - b)^2 = 45 - 9$ $(5 - b)^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных решения для выражения $(5 - b)$:
1) $5 - b = 6$
2) $5 - b = -6$

Находим значение $b$ для каждого случая:
1) $b = 5 - 6 \Rightarrow b_1 = -1$
2) $b = 5 - (-6) \Rightarrow b = 5 + 6 \Rightarrow b_2 = 11$

Мы получили два различных значения для ординаты центра, что означает, что существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи. Центры этих окружностей находятся в точках $(0; -1)$ и $(0; 11)$.

Запишем уравнение для каждой окружности:
1. Для центра $(0; -1)$ и $R^2 = 45$: $x^2 + (y - (-1))^2 = 45$ $x^2 + (y + 1)^2 = 45$
2. Для центра $(0; 11)$ и $R^2 = 45$: $x^2 + (y - 11)^2 = 45$

Ответ: Существует две окружности. Уравнения этих окружностей: $x^2 + (y + 1)^2 = 45$ и $x^2 + (y - 11)^2 = 45$.