Номер 337, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

337. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если $A (2; -7)$, $B (-2; 3)$.

Уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Для того чтобы составить уравнение окружности, нам необходимо найти координаты её центра и радиус.

1. Нахождение координат центра окружности.

Центр окружности является серединой её диаметра. В данном случае, центр окружности $O$ — это середина отрезка $AB$. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов.

Пусть $A(x_A, y_A) = (2, -7)$ и $B(x_B, y_B) = (-2, 3)$. Координаты центра $O(x_0, y_0)$ будут:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, центр окружности находится в точке $O(0, -2)$.

2. Нахождение радиуса окружности.

Радиус $r$ окружности равен половине длины диаметра $AB$. Найдем длину диаметра по формуле расстояния между двумя точками:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

$AB = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (3 - (-7))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116}$

Радиус $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{116}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 29}}{2} = \frac{2\sqrt{29}}{2} = \sqrt{29}$

Для уравнения окружности нам понадобится квадрат радиуса:

$r^2 = (\sqrt{29})^2 = 29$

3. Составление уравнения окружности.

Теперь подставим найденные координаты центра $O(0, -2)$ и квадрат радиуса $r^2 = 29$ в стандартное уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = 29$

Упрощая, получаем:

$x^2 + (y + 2)^2 = 29$

Ответ: $x^2 + (y + 2)^2 = 29$