Номер 338, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

338. Докажите, что отрезок $AB$ является диаметром окружности $(x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 17$, если $A (1; -5)$, $B (9; -3)$.

Для того чтобы доказать, что отрезок AB является диаметром окружности, нужно установить, что:

1. Обе точки, A и B, лежат на данной окружности.
2. Центр окружности является серединой отрезка AB.

Проверим, лежат ли точки A и B на окружности

Уравнение окружности задано как $(x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 17$.

Подставим координаты точки $A(1; -5)$ в уравнение:

$(1 - 5)^2 + (-5 + 4)^2 = (-4)^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.

Равенство $17 = 17$ верно, следовательно, точка A лежит на окружности.

Подставим координаты точки $B(9; -3)$ в уравнение:

$(9 - 5)^2 + (-3 + 4)^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$.

Равенство $17 = 17$ верно, следовательно, точка B также лежит на окружности.

Первое условие выполнено.

Найдем центр окружности и середину отрезка AB

Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра.Из уравнения $(x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 17$ следует, что центр окружности O имеет координаты $O(5; -4)$.

Теперь найдем координаты середины M отрезка AB, используя формулы для нахождения координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим координаты точек $A(1; -5)$ и $B(9; -3)$:

$x_M = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_M = \frac{-5 + (-3)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Координаты середины отрезка AB равны $M(5; -4)$.

Сравнивая координаты, видим, что координаты центра окружности $O(5; -4)$ и координаты середины отрезка $M(5; -4)$ совпадают.

Второе условие выполнено.

Поскольку обе точки A и B лежат на окружности, и ее центр является серединой отрезка AB, то отрезок AB является диаметром данной окружности.

Ответ: Что и требовалось доказать.