Номер 345, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

345. Установите, является ли данное уравнение уравнением окружности:

1) $x^2 + 2x + y^2 - 10y - 23 = 0;$

2) $x^2 - 12x + y^2 + 4y + 40 = 0;$

3) $x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0;$

4) $x^2 + y^2 - 4x - 14y + 51 = 0.$

В случае утвердительного ответа укажите координаты центра и радиус этой окружности.

Для того чтобы определить, является ли уравнение уравнением окружности, необходимо привести его к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. Это делается методом выделения полных квадратов. Уравнение задает окружность, если $R^2 > 0$. Если $R^2 = 0$, уравнение задает одну точку. Если $R^2 < 0$, уравнение не имеет решений в действительных числах.

1) $x^2 + 2x + y^2 - 10y - 23 = 0$

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и перенесем свободный член в правую часть:
$(x^2 + 2x) + (y^2 - 10y) = 23$
Дополним выражения в скобках до полных квадратов, используя формулы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Для этого прибавим к обеим частям уравнения необходимые слагаемые.
Для выражения $(x^2 + 2x)$ нужно добавить $(\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$.
Для выражения $(y^2 - 10y)$ нужно добавить $(\frac{-10}{2})^2 = (-5)^2 = 25$.
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 10y + 25) = 23 + 1 + 25$
Свернем полные квадраты:
$(x+1)^2 + (y-5)^2 = 49$
Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Так как $R^2 = 49 > 0$, данное уравнение является уравнением окружности.
Центр окружности находится в точке с координатами $a = -1$, $b = 5$.
Радиус окружности $R = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: Да, является. Координаты центра: $(-1; 5)$, радиус: $7$.

2) $x^2 - 12x + y^2 + 4y + 40 = 0$

Сгруппируем слагаемые и перенесем свободный член:
$(x^2 - 12x) + (y^2 + 4y) = -40$
Дополним до полных квадратов:
Для $(x^2 - 12x)$ нужно добавить $(\frac{-12}{2})^2 = (-6)^2 = 36$.
Для $(y^2 + 4y)$ нужно добавить $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.
$(x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 4y + 4) = -40 + 36 + 4$
Свернем полные квадраты:
$(x-6)^2 + (y+2)^2 = 0$
Это уравнение вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $R^2 = 0$. Уравнению удовлетворяет только одна точка $(6; -2)$, так как сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: $x-6=0 \Rightarrow x=6$ и $y+2=0 \Rightarrow y=-2$. Это вырожденная окружность, которая в стандартном понимании окружностью не является.
Ответ: Нет, не является (уравнение задает одну точку $(6; -2)$).

3) $x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0$

Перегруппируем слагаемые и перенесем свободный член:
$(x^2 + 8x) + (y^2 + 6y) = -34$
Дополним до полных квадратов:
Для $(x^2 + 8x)$ нужно добавить $(\frac{8}{2})^2 = 4^2 = 16$.
Для $(y^2 + 6y)$ нужно добавить $(\frac{6}{2})^2 = 3^2 = 9$.
$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) = -34 + 16 + 9$
Свернем полные квадраты:
$(x+4)^2 + (y+3)^2 = -9$
Левая часть уравнения, как сумма квадратов, всегда неотрицательна. Правая часть — отрицательное число. Уравнение не имеет решений в действительных числах, следовательно, оно не задает никакую фигуру на плоскости.
Ответ: Нет, не является (уравнение не имеет действительных решений).

4) $x^2 + y^2 - 4x - 14y + 51 = 0$

Сгруппируем слагаемые и перенесем свободный член:
$(x^2 - 4x) + (y^2 - 14y) = -51$
Дополним до полных квадратов:
Для $(x^2 - 4x)$ нужно добавить $(\frac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4$.
Для $(y^2 - 14y)$ нужно добавить $(\frac{-14}{2})^2 = (-7)^2 = 49$.
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 14y + 49) = -51 + 4 + 49$
Свернем полные квадраты:
$(x-2)^2 + (y-7)^2 = 2$
Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Так как $R^2 = 2 > 0$, данное уравнение является уравнением окружности.
Центр окружности находится в точке с координатами $a = 2$, $b = 7$.
Радиус окружности $R = \sqrt{2}$.
Ответ: Да, является. Координаты центра: $(2; 7)$, радиус: $\sqrt{2}$.