Номер 351, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

351. Составьте уравнение окружности, касающейся координатных осей и прямой $x = 2$.

Пусть уравнение искомой окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

По условию, окружность касается координатных осей $Ox$ (уравнение $y=0$) и $Oy$ (уравнение $x=0$). Условие касания означает, что расстояние от центра окружности до каждой из этих осей равно радиусу.

• Расстояние от центра $(a, b)$ до оси $Ox$ равно $|b|$.
• Расстояние от центра $(a, b)$ до оси $Oy$ равно $|a|$.

Следовательно, мы получаем первое условие для параметров окружности: $|a| = |b| = R$. Это означает, что координаты центра равны по модулю, и их модуль равен радиусу.

Также по условию окружность касается прямой $x = 2$ (или $x - 2 = 0$). Расстояние от центра $(a, b)$ до этой прямой также должно быть равно радиусу $R$. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Для прямой $x - 2 = 0$ и точки $(a, b)$ расстояние равно: $d = \frac{|1 \cdot a + 0 \cdot b - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = |a - 2|$.

Таким образом, мы получаем второе условие: $|a - 2| = R$.

Объединим полученные условия. Из $|a| = R$ и $|a - 2| = R$ следует, что $|a| = |a - 2|$. Решим это уравнение. Оно распадается на два случая:

1. $a = a - 2 \implies 0 = -2$. Это неверное равенство, следовательно, решений в этом случае нет.
2. $a = -(a - 2) \implies a = -a + 2 \implies 2a = 2 \implies a = 1$.

Мы нашли абсциссу центра окружности: $a = 1$.

Теперь найдем радиус $R$ из условия $|a| = R$: $R = |1| = 1$.

Далее, найдем ординату центра $b$ из условия $|b| = R$: $|b| = 1$, что дает два возможных значения: $b_1 = 1$ и $b_2 = -1$.

Таким образом, мы имеем две окружности, удовлетворяющие заданным условиям.

Случай 1: Центр в точке $(1, 1)$ и радиус $R=1$
Уравнение окружности: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$, то есть $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

Случай 2: Центр в точке $(1, -1)$ и радиус $R=1$
Уравнение окружности: $(x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 1^2$, то есть $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$.

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ и $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$.