Страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

343. Составьте уравнение окружности, центр которой принадлежит оси абсцисс и которая проходит через точки $A (-4; 1)$ и $B (8; 5).$

Общее уравнение окружности с центром в точке $C(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности принадлежит оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что координата $y$ центра равна нулю, то есть $b=0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $C(a; 0)$, а уравнение окружности принимает вид:$(x - a)^2 + y^2 = R^2$

Окружность проходит через точки $A(-4; 1)$ и $B(8; 5)$. Это означает, что координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точек $A$ и $B$ в это уравнение, чтобы составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $R$.

Для точки $A(-4; 1)$ получаем:$(-4 - a)^2 + 1^2 = R^2$$(a + 4)^2 + 1 = R^2$

Для точки $B(8; 5)$ получаем:$(8 - a)^2 + 5^2 = R^2$$(8 - a)^2 + 25 = R^2$

Так как левые части обоих уравнений равны $R^2$, мы можем их приравнять друг к другу:$(a + 4)^2 + 1 = (8 - a)^2 + 25$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:$a^2 + 8a + 16 + 1 = 64 - 16a + a^2 + 25$$a^2 + 8a + 17 = a^2 - 16a + 89$

Сократим $a^2$ в обеих частях уравнения и перенесем члены с $a$ в левую часть, а свободные члены — в правую:$8a + 16a = 89 - 17$$24a = 72$$a = \frac{72}{24}$$a = 3$

Итак, мы нашли абсциссу центра окружности. Координаты центра: $C(3; 0)$.

Далее найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $a = 3$ в любое из ранее полученных уравнений. Возьмем первое уравнение:$R^2 = (a + 4)^2 + 1$$R^2 = (3 + 4)^2 + 1$$R^2 = 7^2 + 1$$R^2 = 49 + 1$$R^2 = 50$

Теперь, зная координаты центра $C(3; 0)$ и квадрат радиуса $R^2 = 50$, мы можем составить искомое уравнение окружности:$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 50$$(x - 3)^2 + y^2 = 50$

Ответ: $(x - 3)^2 + y^2 = 50$

344. Докажите, что окружность $(x + 6)^2 + (y - 3)^2 = 36$:

1) касается оси ординат;

2) пересекает ось абсцисс;

3) не имеет общих точек с прямой $y = 10$.

Уравнение окружности задано в каноническом виде $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Для окружности $(x + 6)^2 + (y - 3)^2 = 36$ имеем:
- Центр окружности находится в точке $C(-6, 3)$.
- Радиус окружности $R = \sqrt{36} = 6$.

1) касается оси ординат

Ось ординат — это прямая, заданная уравнением $x = 0$. Окружность касается прямой, если расстояние от центра окружности до этой прямой равно радиусу.
Расстояние $d$ от центра $C(-6, 3)$ до прямой $x = 0$ равно модулю абсциссы центра:
$d = |-6| = 6$.
Радиус окружности $R = 6$.
Поскольку расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = R$), окружность касается оси ординат.
Найдем точку касания, подставив $x = 0$ в уравнение окружности:
$(0 + 6)^2 + (y - 3)^2 = 36$
$36 + (y - 3)^2 = 36$
$(y - 3)^2 = 0$
$y = 3$.
Окружность касается оси ординат в одной точке $(0, 3)$.
Ответ: Доказано, что окружность касается оси ординат.

2) пересекает ось абсцисс

Ось абсцисс — это прямая, заданная уравнением $y = 0$. Окружность пересекает прямую, если расстояние от ее центра до этой прямой меньше радиуса.
Расстояние $d$ от центра $C(-6, 3)$ до прямой $y = 0$ равно модулю ординаты центра:
$d = |3| = 3$.
Радиус окружности $R = 6$.
Поскольку расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < R$, так как $3 < 6$), окружность пересекает ось абсцисс в двух точках.
Чтобы убедиться в этом, найдем точки пересечения. Подставим $y = 0$ в уравнение окружности:
$(x + 6)^2 + (0 - 3)^2 = 36$
$(x + 6)^2 + 9 = 36$
$(x + 6)^2 = 27$.
Так как правая часть уравнения положительна, оно имеет два различных действительных корня, что доказывает наличие двух точек пересечения.
Ответ: Доказано, что окружность пересекает ось абсцисс.

3) не имеет общих точек с прямой y = 10

Окружность не имеет общих точек с прямой, если расстояние от ее центра до этой прямой больше радиуса.
Найдем расстояние $d$ от центра $C(-6, 3)$ до прямой $y = 10$:
$d = |3 - 10| = |-7| = 7$.
Радиус окружности $R = 6$.
Поскольку расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > R$, так как $7 > 6$), окружность и прямая не имеют общих точек.
Для проверки можно подставить $y = 10$ в уравнение окружности:
$(x + 6)^2 + (10 - 3)^2 = 36$
$(x + 6)^2 + 7^2 = 36$
$(x + 6)^2 + 49 = 36$
$(x + 6)^2 = -13$.
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у окружности и прямой нет общих точек.
Ответ: Доказано, что окружность не имеет общих точек с прямой $y = 10$.

345. Установите, является ли данное уравнение уравнением окружности:

1) $x^2 + 2x + y^2 - 10y - 23 = 0;$

2) $x^2 - 12x + y^2 + 4y + 40 = 0;$

3) $x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0;$

4) $x^2 + y^2 - 4x - 14y + 51 = 0.$

В случае утвердительного ответа укажите координаты центра и радиус этой окружности.

Для того чтобы определить, является ли уравнение уравнением окружности, необходимо привести его к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. Это делается методом выделения полных квадратов. Уравнение задает окружность, если $R^2 > 0$. Если $R^2 = 0$, уравнение задает одну точку. Если $R^2 < 0$, уравнение не имеет решений в действительных числах.

1) $x^2 + 2x + y^2 - 10y - 23 = 0$

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и перенесем свободный член в правую часть:
$(x^2 + 2x) + (y^2 - 10y) = 23$
Дополним выражения в скобках до полных квадратов, используя формулы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Для этого прибавим к обеим частям уравнения необходимые слагаемые.
Для выражения $(x^2 + 2x)$ нужно добавить $(\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$.
Для выражения $(y^2 - 10y)$ нужно добавить $(\frac{-10}{2})^2 = (-5)^2 = 25$.
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 10y + 25) = 23 + 1 + 25$
Свернем полные квадраты:
$(x+1)^2 + (y-5)^2 = 49$
Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Так как $R^2 = 49 > 0$, данное уравнение является уравнением окружности.
Центр окружности находится в точке с координатами $a = -1$, $b = 5$.
Радиус окружности $R = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: Да, является. Координаты центра: $(-1; 5)$, радиус: $7$.

2) $x^2 - 12x + y^2 + 4y + 40 = 0$

Сгруппируем слагаемые и перенесем свободный член:
$(x^2 - 12x) + (y^2 + 4y) = -40$
Дополним до полных квадратов:
Для $(x^2 - 12x)$ нужно добавить $(\frac{-12}{2})^2 = (-6)^2 = 36$.
Для $(y^2 + 4y)$ нужно добавить $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.
$(x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 4y + 4) = -40 + 36 + 4$
Свернем полные квадраты:
$(x-6)^2 + (y+2)^2 = 0$
Это уравнение вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $R^2 = 0$. Уравнению удовлетворяет только одна точка $(6; -2)$, так как сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: $x-6=0 \Rightarrow x=6$ и $y+2=0 \Rightarrow y=-2$. Это вырожденная окружность, которая в стандартном понимании окружностью не является.
Ответ: Нет, не является (уравнение задает одну точку $(6; -2)$).

3) $x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0$

Перегруппируем слагаемые и перенесем свободный член:
$(x^2 + 8x) + (y^2 + 6y) = -34$
Дополним до полных квадратов:
Для $(x^2 + 8x)$ нужно добавить $(\frac{8}{2})^2 = 4^2 = 16$.
Для $(y^2 + 6y)$ нужно добавить $(\frac{6}{2})^2 = 3^2 = 9$.
$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) = -34 + 16 + 9$
Свернем полные квадраты:
$(x+4)^2 + (y+3)^2 = -9$
Левая часть уравнения, как сумма квадратов, всегда неотрицательна. Правая часть — отрицательное число. Уравнение не имеет решений в действительных числах, следовательно, оно не задает никакую фигуру на плоскости.
Ответ: Нет, не является (уравнение не имеет действительных решений).

4) $x^2 + y^2 - 4x - 14y + 51 = 0$

Сгруппируем слагаемые и перенесем свободный член:
$(x^2 - 4x) + (y^2 - 14y) = -51$
Дополним до полных квадратов:
Для $(x^2 - 4x)$ нужно добавить $(\frac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4$.
Для $(y^2 - 14y)$ нужно добавить $(\frac{-14}{2})^2 = (-7)^2 = 49$.
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 14y + 49) = -51 + 4 + 49$
Свернем полные квадраты:
$(x-2)^2 + (y-7)^2 = 2$
Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Так как $R^2 = 2 > 0$, данное уравнение является уравнением окружности.
Центр окружности находится в точке с координатами $a = 2$, $b = 7$.
Радиус окружности $R = \sqrt{2}$.
Ответ: Да, является. Координаты центра: $(2; 7)$, радиус: $\sqrt{2}$.

346. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0$;

2) $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 15 = 0$.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, необходимо привести его к каноническому виду: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус. Этот процесс осуществляется методом выделения полного квадрата.

1) $x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $x$ и $y$:

$x^2 + (y^2 + 16y) + 60 = 0$

Член $x^2$ уже является полным квадратом $(x-0)^2$.

Для выражения $y^2 + 16y$ выделим полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$. В нашем случае $m=y$ и $2mn = 16y$, откуда $2yn = 16y$, что дает $n=8$. Следовательно, нам нужно добавить и вычесть $n^2 = 8^2 = 64$:

$y^2 + 16y = (y^2 + 16y + 64) - 64 = (y+8)^2 - 64$

Подставим это обратно в исходное уравнение:

$x^2 + (y+8)^2 - 64 + 60 = 0$

$x^2 + (y+8)^2 - 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 + (y+8)^2 = 4$

Это уравнение соответствует каноническому виду уравнения окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Отсюда видно, что $a=0$, $b=-8$, и $R^2=4$.

Таким образом, данное уравнение действительно является уравнением окружности с центром в точке $(0, -8)$ и радиусом $R=\sqrt{4}=2$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(0, -8)$ и радиусом $R=2$.

2) $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 15 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $x$ и $y$:

$(x^2 - 8x) + (y^2 + 4y) + 15 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой группы.

Для $x^2 - 8x$: используя формулу $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$, имеем $m=x$, $2mn=8x$, откуда $n=4$. Добавим и вычтем $n^2=4^2=16$:

$x^2 - 8x = (x^2 - 8x + 16) - 16 = (x-4)^2 - 16$

Для $y^2 + 4y$: используя формулу $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$, имеем $m=y$, $2mn=4y$, откуда $n=2$. Добавим и вычтем $n^2=2^2=4$:

$y^2 + 4y = (y^2 + 4y + 4) - 4 = (y+2)^2 - 4$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$((x-4)^2 - 16) + ((y+2)^2 - 4) + 15 = 0$

$(x-4)^2 + (y+2)^2 - 16 - 4 + 15 = 0$

$(x-4)^2 + (y+2)^2 - 5 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x-4)^2 + (y+2)^2 = 5$

Это уравнение соответствует каноническому виду уравнения окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Отсюда видно, что $a=4$, $b=-2$, и $R^2=5$.

Таким образом, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(4, -2)$ и радиусом $R=\sqrt{5}$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(4, -2)$ и радиусом $R=\sqrt{5}$.

347. Докажите, что треугольник с вершинами в точках $A (-1; -2)$, $B (-1; 2)$, $C (5; 2)$ является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около этого треугольника.

Доказательство того, что треугольник является прямоугольным

Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, мы можем использовать обратную теорему Пифагора. Для этого сначала найдем квадраты длин всех трех сторон треугольника, используя формулу для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Координаты вершин треугольника: $A(-1; -2)$, $B(-1; 2)$, $C(5; 2)$.

1. Найдем квадрат длины стороны AB:
$AB^2 = (-1 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2 = 0^2 + (2 + 2)^2 = 0 + 4^2 = 16$.

2. Найдем квадрат длины стороны BC:
$BC^2 = (5 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 = (5 + 1)^2 + 0^2 = 6^2 + 0 = 36$.

3. Найдем квадрат длины стороны AC:
$AC^2 = (5 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2 = (5 + 1)^2 + (2 + 2)^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$.

Теперь проверим, выполняется ли равенство $AB^2 + BC^2 = AC^2$:
$16 + 36 = 52$.
Поскольку $AC^2 = 52$, равенство выполняется.

Так как сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, по обратной теореме Пифагора треугольник ABC является прямоугольным. Прямой угол находится при вершине B, так как он лежит напротив самой длинной стороны (гипотенузы) AC.

Составление уравнения окружности, описанной около этого треугольника

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. В данном случае гипотенузой является сторона AC.

1. Найдем координаты центра окружности O, который является серединой отрезка AC. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$.
$x_O = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_O = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Следовательно, центр окружности находится в точке $O(2; 0)$.

2. Радиус $R$ описанной окружности равен половине длины гипотенузы AC. Мы уже вычислили, что $AC^2 = 52$. Тогда квадрат радиуса равен:
$R^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \frac{AC^2}{4} = \frac{52}{4} = 13$.

3. Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Подставим координаты центра $O(2; 0)$ и значение квадрата радиуса $R^2 = 13$ в это уравнение:
$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 13$
$(x - 2)^2 + y^2 = 13$.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, так как для его сторон выполняется теорема Пифагора ($16 + 36 = 52$). Уравнение описанной около него окружности: $(x - 2)^2 + y^2 = 13$.

348. Составьте уравнение окружности, радиус которой равен 5, проходящей через точки C $(-1; 5)$ и D $(6; 4)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию задачи, радиус окружности $R = 5$. Следовательно, $R^2 = 5^2 = 25$. Уравнение принимает вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = 25$

Окружность проходит через точки $C(-1; 5)$ и $D(6; 4)$. Это означает, что координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точек $C$ и $D$ в уравнение, чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$.

Для точки $C(-1; 5)$:

$(-1 - a)^2 + (5 - b)^2 = 25$

Для точки $D(6; 4)$:

$(6 - a)^2 + (4 - b)^2 = 25$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (-1 - a)^2 + (5 - b)^2 = 25 \\ (6 - a)^2 + (4 - b)^2 = 25 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$(-1 - a)^2 + (5 - b)^2 = (6 - a)^2 + (4 - b)^2$

Раскроем скобки:

$(1 + 2a + a^2) + (25 - 10b + b^2) = (36 - 12a + a^2) + (16 - 8b + b^2)$

Упростим уравнение, сократив $a^2$ и $b^2$ в обеих частях:

$1 + 2a + 25 - 10b = 36 - 12a + 16 - 8b$

$26 + 2a - 10b = 52 - 12a - 8b$

Перенесем все члены с переменными в одну сторону, а константы — в другую:

$2a + 12a - 10b + 8b = 52 - 26$

$14a - 2b = 26$

Разделим обе части на 2:

$7a - b = 13$

Выразим $b$ через $a$:

$b = 7a - 13$

Теперь подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы: $(-1 - a)^2 + (5 - b)^2 = 25$.

$(-1 - a)^2 + (5 - (7a - 13))^2 = 25$

$(1 + a)^2 + (5 - 7a + 13)^2 = 25$

$(1 + a)^2 + (18 - 7a)^2 = 25$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$(1 + 2a + a^2) + (324 - 252a + 49a^2) = 25$

$50a^2 - 250a + 325 = 25$

$50a^2 - 250a + 300 = 0$

Разделим все уравнение на 50:

$a^2 - 5a + 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $b$ для каждого значения $a$, используя формулу $b = 7a - 13$:

1. Если $a_1 = 2$, то $b_1 = 7(2) - 13 = 14 - 13 = 1$.
Центр первой окружности: $O_1(2; 1)$.
Уравнение первой окружности: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$.

2. Если $a_2 = 3$, то $b_2 = 7(3) - 13 = 21 - 13 = 8$.
Центр второй окружности: $O_2(3; 8)$.
Уравнение второй окружности: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 25$.

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ или $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 25$.

349. Составьте уравнение окружности, радиус которой равен $\sqrt{10}$, проходящей через точки $M (-2; 1)$ и $K (-4; -1)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию задачи, радиус окружности $R = \sqrt{10}$, следовательно, квадрат радиуса $R^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$.

Таким образом, уравнение искомой окружности принимает вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = 10$

Окружность проходит через точки $M(-2; 1)$ и $K(-4; -1)$. Это означает, что координаты этих точек должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим координаты точек $M$ и $K$ в это уравнение, чтобы составить систему уравнений для нахождения неизвестных координат центра $(a; b)$.

Для точки $M(-2; 1)$:

$(-2 - a)^2 + (1 - b)^2 = 10$

$(a + 2)^2 + (b - 1)^2 = 10$ (1)

Для точки $K(-4; -1)$:

$(-4 - a)^2 + (-1 - b)^2 = 10$

$(a + 4)^2 + (b + 1)^2 = 10$ (2)

Поскольку левые части обоих уравнений равны 10, мы можем приравнять их друг к другу:

$(a + 2)^2 + (b - 1)^2 = (a + 4)^2 + (b + 1)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$a^2 + 4a + 4 + b^2 - 2b + 1 = a^2 + 8a + 16 + b^2 + 2b + 1$

Сократим одинаковые члены ($a^2$ и $b^2$) в обеих частях уравнения:

$4a - 2b + 5 = 8a + 2b + 17$

Сгруппируем члены с переменными в одной части уравнения, а числовые константы — в другой:

$5 - 17 = 8a - 4a + 2b + 2b$

$-12 = 4a + 4b$

Разделим обе части полученного уравнения на 4 для упрощения:

$-3 = a + b$

Из этого линейного уравнения выразим одну переменную через другую, например, $a$ через $b$:

$a = -3 - b$

Теперь подставим это выражение для $a$ в любое из первоначальных уравнений системы, например, в уравнение (1):

$((-3 - b) + 2)^2 + (b - 1)^2 = 10$

$(-1 - b)^2 + (b - 1)^2 = 10$

Поскольку $(-1 - b)^2 = (-(b+1))^2 = (b+1)^2$, уравнение принимает вид:

$(b + 1)^2 + (b - 1)^2 = 10$

Раскроем скобки:

$(b^2 + 2b + 1) + (b^2 - 2b + 1) = 10$

Приведем подобные члены:

$2b^2 + 2 = 10$

$2b^2 = 8$

$b^2 = 4$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $b$:

$b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Для каждого значения $b$ найдем соответствующее значение $a$, используя ранее полученную зависимость $a = -3 - b$:

1. Если $b_1 = 2$, то $a_1 = -3 - 2 = -5$. Таким образом, центр первой возможной окружности находится в точке $O_1(-5; 2)$.

2. Если $b_2 = -2$, то $a_2 = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1$. Таким образом, центр второй возможной окружности находится в точке $O_2(-1; -2)$.

Таким образом, мы нашли два центра окружностей, удовлетворяющих условиям задачи. Теперь запишем уравнения для каждой из них.

1. Уравнение окружности с центром в $O_1(-5; 2)$ и радиусом $R = \sqrt{10}$:

$(x - (-5))^2 + (y - 2)^2 = 10$

$(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 10$

2. Уравнение окружности с центром в $O_2(-1; -2)$ и радиусом $R = \sqrt{10}$:

$(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = 10$

$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 10$

Ответ: $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 10$ и $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 10$.

350. Составьте уравнение окружности, касающейся координатных осей и прямой $y = -4$.

Пусть центр искомой окружности находится в точке $C(x_0, y_0)$, а ее радиус равен $R$. Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Из условия, что окружность касается координатных осей (оси Ox, уравнение которой $y=0$, и оси Oy, уравнение которой $x=0$), следует, что расстояние от центра до каждой из осей равно радиусу. Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до оси Ox равно $|y_0|$, а до оси Oy — $|x_0|$. Таким образом, мы получаем первое условие: $|x_0| = |y_0| = R$.

Из условия, что окружность касается прямой $y = -4$, следует, что расстояние от центра $(x_0, y_0)$ до этой прямой также равно радиусу. Расстояние от точки до горизонтальной прямой $y=c$ вычисляется по формуле $|y_0 - c|$. В нашем случае это расстояние равно $|y_0 - (-4)| = |y_0 + 4|$. Таким образом, мы получаем второе условие: $|y_0 + 4| = R$.

Объединив два условия для радиуса, получаем уравнение для нахождения $y_0$:$|y_0| = |y_0 + 4|$.

Данное уравнение с модулями равносильно совокупности двух уравнений: $y_0 = y_0 + 4$ или $y_0 = -(y_0 + 4)$.Первое уравнение, $y_0 = y_0 + 4$, приводит к неверному равенству $0 = 4$ и не имеет решений.Второе уравнение, $y_0 = -y_0 - 4$, преобразуется к виду $2y_0 = -4$, откуда мы находим $y_0 = -2$.

Итак, ордината центра окружности равна $y_0 = -2$. Теперь найдем радиус окружности, используя первое условие:$R = |y_0| = |-2| = 2$.

Зная радиус, найдем возможные значения для абсциссы центра $x_0$ из условия $|x_0| = R$:$|x_0| = 2$, что дает два решения: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют две окружности.Первая окружность имеет центр в точке $(2, -2)$ и радиус $R=2$. Ее уравнение: $(x - 2)^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$, что равносильно $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$.Вторая окружность имеет центр в точке $(-2, -2)$ и радиус $R=2$. Ее уравнение: $(x - (-2))^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$, что равносильно $(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$ и $(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$.

351. Составьте уравнение окружности, касающейся координатных осей и прямой $x = 2$.

Пусть уравнение искомой окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

По условию, окружность касается координатных осей $Ox$ (уравнение $y=0$) и $Oy$ (уравнение $x=0$). Условие касания означает, что расстояние от центра окружности до каждой из этих осей равно радиусу.

• Расстояние от центра $(a, b)$ до оси $Ox$ равно $|b|$.
• Расстояние от центра $(a, b)$ до оси $Oy$ равно $|a|$.

Следовательно, мы получаем первое условие для параметров окружности: $|a| = |b| = R$. Это означает, что координаты центра равны по модулю, и их модуль равен радиусу.

Также по условию окружность касается прямой $x = 2$ (или $x - 2 = 0$). Расстояние от центра $(a, b)$ до этой прямой также должно быть равно радиусу $R$. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Для прямой $x - 2 = 0$ и точки $(a, b)$ расстояние равно: $d = \frac{|1 \cdot a + 0 \cdot b - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = |a - 2|$.

Таким образом, мы получаем второе условие: $|a - 2| = R$.

Объединим полученные условия. Из $|a| = R$ и $|a - 2| = R$ следует, что $|a| = |a - 2|$. Решим это уравнение. Оно распадается на два случая:

1. $a = a - 2 \implies 0 = -2$. Это неверное равенство, следовательно, решений в этом случае нет.
2. $a = -(a - 2) \implies a = -a + 2 \implies 2a = 2 \implies a = 1$.

Мы нашли абсциссу центра окружности: $a = 1$.

Теперь найдем радиус $R$ из условия $|a| = R$: $R = |1| = 1$.

Далее, найдем ординату центра $b$ из условия $|b| = R$: $|b| = 1$, что дает два возможных значения: $b_1 = 1$ и $b_2 = -1$.

Таким образом, мы имеем две окружности, удовлетворяющие заданным условиям.

Случай 1: Центр в точке $(1, 1)$ и радиус $R=1$
Уравнение окружности: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$, то есть $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

Случай 2: Центр в точке $(1, -1)$ и радиус $R=1$
Уравнение окружности: $(x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 1^2$, то есть $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$.

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ и $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$.

352. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки:

1) $A (-3; 7)$, $B (-8; 2)$, $C (-6; -2)$;

2) $M (-1; 10)$, $N (12; -3)$, $K (4; 9)$.

1) Даны точки A(-3; 7), B(-8; 2), C(-6; -2).

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ - координаты центра окружности, а $R$ - ее радиус.

Так как все три точки лежат на окружности, они равноудалены от ее центра $O(a; b)$. Это означает, что квадраты расстояний от центра до этих точек равны: $OA^2 = OB^2 = OC^2$.

Составим первое уравнение, приравняв $OA^2$ и $OB^2$:

$OA^2 = (-3 - a)^2 + (7 - b)^2 = (a + 3)^2 + (b - 7)^2$

$OB^2 = (-8 - a)^2 + (2 - b)^2 = (a + 8)^2 + (b - 2)^2$

$(a + 3)^2 + (b - 7)^2 = (a + 8)^2 + (b - 2)^2$

Раскроем скобки: $a^2 + 6a + 9 + b^2 - 14b + 49 = a^2 + 16a + 64 + b^2 - 4b + 4$.

Упростим выражение: $6a - 14b + 58 = 16a - 4b + 68$.

Приведем подобные члены: $10a + 10b = -10$, что эквивалентно $a + b = -1$.

Составим второе уравнение, приравняв $OB^2$ и $OC^2$:

$OC^2 = (-6 - a)^2 + (-2 - b)^2 = (a + 6)^2 + (b + 2)^2$

$(a + 8)^2 + (b - 2)^2 = (a + 6)^2 + (b + 2)^2$

Раскроем скобки: $a^2 + 16a + 64 + b^2 - 4b + 4 = a^2 + 12a + 36 + b^2 + 4b + 4$.

Упростим выражение: $16a - 4b + 68 = 12a + 4b + 40$.

Приведем подобные члены: $4a - 8b = -28$, что эквивалентно $a - 2b = -7$.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a + b = -1 \\ a - 2b = -7 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого: $(a + b) - (a - 2b) = -1 - (-7)$, что дает $3b = 6$, откуда $b = 2$.

Подставим значение $b$ в первое уравнение: $a + 2 = -1$, откуда $a = -3$.

Таким образом, центр окружности - точка $O(-3; 2)$.

Найдем квадрат радиуса, используя координаты точки A:

$R^2 = OA^2 = (-3 - (-3))^2 + (7 - 2)^2 = 0^2 + 5^2 = 25$.

Подставим координаты центра и значение квадрата радиуса в общее уравнение окружности:

$(x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 25$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$.

2) Даны точки M(-1; 10), N(12; -3), K(4; 9).

Аналогично предыдущему пункту, найдем координаты центра $O(a; b)$, решив систему уравнений, полученную из условия $OM^2 = ON^2 = OK^2$.

Приравняем $OM^2$ и $ON^2$:

$OM^2 = (-1 - a)^2 + (10 - b)^2 = (a + 1)^2 + (b - 10)^2$

$ON^2 = (12 - a)^2 + (-3 - b)^2 = (a - 12)^2 + (b + 3)^2$

$(a + 1)^2 + (b - 10)^2 = (a - 12)^2 + (b + 3)^2$

$a^2 + 2a + 1 + b^2 - 20b + 100 = a^2 - 24a + 144 + b^2 + 6b + 9$

$2a - 20b + 101 = -24a + 6b + 153$

$26a - 26b = 52$, что эквивалентно $a - b = 2$.

Приравняем $ON^2$ и $OK^2$:

$OK^2 = (4 - a)^2 + (9 - b)^2 = (a - 4)^2 + (b - 9)^2$

$(a - 12)^2 + (b + 3)^2 = (a - 4)^2 + (b - 9)^2$

$a^2 - 24a + 144 + b^2 + 6b + 9 = a^2 - 8a + 16 + b^2 - 18b + 81$

$-24a + 6b + 153 = -8a - 18b + 97$

$-16a + 24b = -56$. Разделим обе части на -8: $2a - 3b = 7$.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} a - b = 2 \\ 2a - 3b = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a = b + 2$ и подставим во второе:

$2(b + 2) - 3b = 7$

$2b + 4 - 3b = 7$

$-b = 3$, откуда $b = -3$.

Найдем $a$: $a = -3 + 2 = -1$.

Центр окружности - точка $O(-1; -3)$.

Найдем квадрат радиуса, используя координаты точки M:

$R^2 = OM^2 = (-1 - (-1))^2 + (10 - (-3))^2 = 0^2 + 13^2 = 169$.

Подставим найденные значения в уравнение окружности:

$(x - (-1))^2 + (y - (-3))^2 = 169$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 169$.

353. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $E$, $AB = BE = 12$ см, $ED = 18$ см. Найдите площадь параллелограмма.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $BE$ является секущей для этих параллельных прямых.

Так как $BE$ — биссектриса угла $B$, то $\angle ABE = \angle EBC$.

Углы $\angle EBC$ и $\angle AEB$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BE$. Следовательно, они равны: $\angle EBC = \angle AEB$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle ABE = \angle AEB$. Это означает, что треугольник $ABE$ является равнобедренным с основанием $BE$, и его боковые стороны $AB$ и $AE$ равны: $AB = AE$.

По условию задачи $AB = 12$ см, значит, $AE = 12$ см. Также по условию $BE = 12$ см. Таким образом, в треугольнике $ABE$ все стороны равны: $AB = AE = BE = 12$ см. Следовательно, треугольник $ABE$ является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, поэтому угол параллелограмма $\angle A = \angle BAE = 60^\circ$.

Найдем длину стороны $AD$ параллелограмма. Точка $E$ лежит на стороне $AD$, поэтому длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $ED$:

$AD = AE + ED = 12 \text{ см} + 18 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, а $\alpha$ — угол между ними.

В нашем случае $a = AB = 12$ см, $b = AD = 30$ см, а угол между ними $\alpha = \angle A = 60^\circ$.

Подставим значения в формулу:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A) = 12 \cdot 30 \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{ABCD} = 12 \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 360 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 180\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $180\sqrt{3}$ см$^2$.

354. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите периметр прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Проведем диагональ $AC$. Из вершины $B$ опустим перпендикуляр $BH$ на диагональ $AC$. По условию, этот перпендикуляр делит диагональ на отрезки длиной $9$ см и $16$ см. Пусть $AH = 9$ см, а $HC = 16$ см.

1. Сначала найдем полную длину диагонали $AC$. Она равна сумме длин ее отрезков:

$AC = AH + HC = 9 + 16 = 25$ см.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то угол $\angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник, где $AC$ — гипотенуза, а $AB$ и $BC$ — катеты. Отрезок $BH$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

3. Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Для катета $AB$ его проекцией на гипотенузу $AC$ является отрезок $AH$. Таким образом:

$AB^2 = AC \cdot AH$

$AB^2 = 25 \cdot 9 = 225$

$AB = \sqrt{225} = 15$ см.

Для катета $BC$ его проекцией на гипотенузу $AC$ является отрезок $HC$. Таким образом:

$BC^2 = AC \cdot HC$

$BC^2 = 25 \cdot 16 = 400$

$BC = \sqrt{400} = 20$ см.

4. Мы нашли длины сторон прямоугольника: $15$ см и $20$ см. Теперь можем найти его периметр ($P$).

$P = 2 \cdot (AB + BC)$

$P = 2 \cdot (15 + 20) = 2 \cdot 35 = 70$ см.

Ответ: 70 см.