Страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

355. В равнобокую трапецию вписана окружность радиуса 12 см. Одна из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, один из которых равен 16 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности. По условию, радиус окружности $r = 12$ см, следовательно, высота трапеции составляет:$h = 2r = 2 \times 12 = 24$ см.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, точка касания делит боковую сторону на два отрезка. Обозначим длины этих отрезков как $x$ и $y$. По условию, один из них равен 16 см. Пусть $x = 16$ см. Длина боковой стороны $c = x + y = 16 + y$.

Чтобы найти второй отрезок $y$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$, высотой $h$ и частью большего основания. Катетами этого треугольника будут высота $h$ и отрезок, равный полуразности оснований $\frac{a-b}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $c$.

В равнобокой трапеции, описанной около окружности, основания можно выразить через отрезки $x$ и $y$: $a = 2x$ и $b = 2y$ (это следует из свойств касательных и симметрии трапеции).Тогда полуразность оснований равна:$\frac{a-b}{2} = \frac{2x - 2y}{2} = x - y$.

Применим теорему Пифагора:$c^2 = h^2 + (\frac{a-b}{2})^2$Подставим выражения через $x$ и $y$:$(x+y)^2 = h^2 + (x-y)^2$Раскроем скобки:$x^2 + 2xy + y^2 = h^2 + x^2 - 2xy + y^2$Упростим выражение:$4xy = h^2$

Теперь подставим известные значения $x=16$ см и $h=24$ см в полученную формулу, чтобы найти $y$:$4 \cdot 16 \cdot y = 24^2$$64y = 576$$y = \frac{576}{64} = 9$ см.

Теперь мы можем найти длину боковой стороны:$c = x + y = 16 + 9 = 25$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.Для четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:$a+b = c+c = 2c$$a+b = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{50}{2} \cdot 24 = 25 \cdot 24 = 600$ см².

Ответ: 600 см².