Страница 83 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

328. Составьте уравнение окружности, если известны координаты её центра $A$ и радиус $R$:

1) $A (3; 4)$, $R = 4$;

2) $A (-2; 0)$, $R = 1$;

3) $A (7; -6)$, $R = \sqrt{2}$;

4) $A (0; 5)$, $R = \sqrt{7}$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $A(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 $

Подставим в это уравнение известные координаты центра $A$ и радиус $R$ для каждого случая.

1) Дано: центр окружности $A(3; 4)$ и радиус $R = 4$.
Координаты центра: $x_0 = 3$, $y_0 = 4$.
Квадрат радиуса: $R^2 = 4^2 = 16$.
Подставляем эти значения в общую формулу уравнения окружности:
$ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16 $
Ответ: $ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16 $.

2) Дано: центр окружности $A(-2; 0)$ и радиус $R = 1$.
Координаты центра: $x_0 = -2$, $y_0 = 0$.
Квадрат радиуса: $R^2 = 1^2 = 1$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$ (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 1^2 $
Упрощаем выражение:
$ (x + 2)^2 + y^2 = 1 $
Ответ: $ (x + 2)^2 + y^2 = 1 $.

3) Дано: центр окружности $A(7; -6)$ и радиус $R = \sqrt{2}$.
Координаты центра: $x_0 = 7$, $y_0 = -6$.
Квадрат радиуса: $R^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$ (x - 7)^2 + (y - (-6))^2 = (\sqrt{2})^2 $
Упрощаем выражение:
$ (x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 2 $
Ответ: $ (x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 2 $.

4) Дано: центр окружности $A(0; 5)$ и радиус $R = \sqrt{7}$.
Координаты центра: $x_0 = 0$, $y_0 = 5$.
Квадрат радиуса: $R^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$ (x - 0)^2 + (y - 5)^2 = (\sqrt{7})^2 $
Упрощаем выражение:
$ x^2 + (y - 5)^2 = 7 $
Ответ: $ x^2 + (y - 5)^2 = 7 $.

329. Составьте уравнение окружности, если известны координаты её цен- тра $B$ и радиус $R$:

1) $B (-1; 9), R = 9;$

2) $B (-8; -8), R = \sqrt{3}.$

Общее уравнение окружности с центром в точке $B(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

По условию, координаты центра окружности $B(-1; 9)$, следовательно, $a = -1$ и $b = 9$. Радиус окружности $R = 9$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения окружности:

$(x - (-1))^2 + (y - 9)^2 = 9^2$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и возведя радиус в квадрат:

$(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = 81$

Это и есть искомое уравнение окружности.

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = 81$.

По условию, координаты центра окружности $B(-8; -8)$, значит, $a = -8$ и $b = -8$. Радиус окружности $R = \sqrt{3}$.

Подставим эти значения в общую формулу $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$:

$(x - (-8))^2 + (y - (-8))^2 = (\sqrt{3})^2$

Упростим полученное выражение:

$(x + 8)^2 + (y + 8)^2 = 3$

Это и есть искомое уравнение окружности.

Ответ: $(x + 8)^2 + (y + 8)^2 = 3$.

330. Определите координаты центра и радиус окружности, изображённой на рисунке 76, и запишите уравнение этой окружности.

Рис. 76

а

Центр: $(0, 0)$

Радиус: $3$

Уравнение: $x^2 + y^2 = 9$

б

Центр: $(0, 1)$

Радиус: $1$

Уравнение: $x^2 + (y - 1)^2 = 1$

в

Центр: $(-2, 0)$

Радиус: $1$

Уравнение: $(x + 2)^2 + y^2 = 1$

г

Центр: $(2, 3)$

Радиус: $\sqrt{13}$

Уравнение: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$

а) Центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $O(0; 0)$. Окружность пересекает положительную часть оси абсцисс в точке с координатой $x=3$, следовательно, радиус окружности $R = 3$.Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.Подставляя значения для данной окружности, получаем:$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$$x^2 + y^2 = 9$
Ответ: Координаты центра: $(0; 0)$, радиус: $3$. Уравнение: $x^2 + y^2 = 9$.

б) Центр окружности лежит на оси ординат. Окружность касается оси абсцисс в точке $(0; 0)$ и пересекает ось ординат в точке $(0; 2)$. Это означает, что отрезок от $(0; 0)$ до $(0; 2)$ является диаметром, проходящим по оси $y$. Длина диаметра равна $2$, следовательно, радиус $R = 2 / 2 = 1$. Центр окружности является серединой этого диаметра, его координаты $(0; 1)$.Подставляем координаты центра $(0; 1)$ и радиус $R=1$ в общее уравнение окружности:$(x - 0)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$$x^2 + (y - 1)^2 = 1$
Ответ: Координаты центра: $(0; 1)$, радиус: $1$. Уравнение: $x^2 + (y - 1)^2 = 1$.

в) Центр окружности, отмеченный на рисунке, находится на оси абсцисс в точке с координатой $x=-3$. Таким образом, координаты центра — $(-3; 0)$. Окружность проходит через точку $(-1; 0)$. Радиус $R$ равен расстоянию между центром $(-3; 0)$ и точкой на окружности $(-1; 0)$.$R = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-1 + 3)^2} = \sqrt{2^2} = 2$.Подставляем координаты центра $(-3; 0)$ и радиус $R=2$ в общее уравнение окружности:$(x - (-3))^2 + (y - 0)^2 = 2^2$$(x + 3)^2 + y^2 = 4$
Ответ: Координаты центра: $(-3; 0)$, радиус: $2$. Уравнение: $(x + 3)^2 + y^2 = 4$.

г) Окружность проходит через три точки: $(0; 0)$, $(4; 0)$ и $(0; 6)$. Центр окружности $(x_0; y_0)$ равноудален от всех точек на ней. Найдем центр как точку пересечения серединных перпендикуляров к хордам.Хорда на оси $x$ соединяет точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$. Ее середина имеет координаты $(\frac{0+4}{2}; \frac{0+0}{2}) = (2; 0)$. Серединный перпендикуляр к этой хорде — вертикальная прямая $x = 2$. Значит, $x_0 = 2$.Хорда на оси $y$ соединяет точки $(0; 0)$ и $(0; 6)$. Ее середина имеет координаты $(\frac{0+0}{2}; \frac{0+6}{2}) = (0; 3)$. Серединный перпендикуляр к этой хорде — горизонтальная прямая $y = 3$. Значит, $y_0 = 3$.Таким образом, центр окружности имеет координаты $(2; 3)$.Радиус $R$ — это расстояние от центра $(2; 3)$ до любой точки на окружности, например, до $(0; 0)$.$R^2 = (2 - 0)^2 + (3 - 0)^2 = 4 + 9 = 13$.Подставляем координаты центра $(2; 3)$ и $R^2=13$ в общее уравнение окружности:$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$
Ответ: Координаты центра: $(2; 3)$, радиус: $\sqrt{13}$. Уравнение: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$.