Номер 330, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

330. Определите координаты центра и радиус окружности, изображённой на рисунке 76, и запишите уравнение этой окружности.

Рис. 76

а

Центр: $(0, 0)$

Радиус: $3$

Уравнение: $x^2 + y^2 = 9$

б

Центр: $(0, 1)$

Радиус: $1$

Уравнение: $x^2 + (y - 1)^2 = 1$

в

Центр: $(-2, 0)$

Радиус: $1$

Уравнение: $(x + 2)^2 + y^2 = 1$

г

Центр: $(2, 3)$

Радиус: $\sqrt{13}$

Уравнение: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$

а) Центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $O(0; 0)$. Окружность пересекает положительную часть оси абсцисс в точке с координатой $x=3$, следовательно, радиус окружности $R = 3$.Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.Подставляя значения для данной окружности, получаем:$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$$x^2 + y^2 = 9$
Ответ: Координаты центра: $(0; 0)$, радиус: $3$. Уравнение: $x^2 + y^2 = 9$.

б) Центр окружности лежит на оси ординат. Окружность касается оси абсцисс в точке $(0; 0)$ и пересекает ось ординат в точке $(0; 2)$. Это означает, что отрезок от $(0; 0)$ до $(0; 2)$ является диаметром, проходящим по оси $y$. Длина диаметра равна $2$, следовательно, радиус $R = 2 / 2 = 1$. Центр окружности является серединой этого диаметра, его координаты $(0; 1)$.Подставляем координаты центра $(0; 1)$ и радиус $R=1$ в общее уравнение окружности:$(x - 0)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$$x^2 + (y - 1)^2 = 1$
Ответ: Координаты центра: $(0; 1)$, радиус: $1$. Уравнение: $x^2 + (y - 1)^2 = 1$.

в) Центр окружности, отмеченный на рисунке, находится на оси абсцисс в точке с координатой $x=-3$. Таким образом, координаты центра — $(-3; 0)$. Окружность проходит через точку $(-1; 0)$. Радиус $R$ равен расстоянию между центром $(-3; 0)$ и точкой на окружности $(-1; 0)$.$R = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-1 + 3)^2} = \sqrt{2^2} = 2$.Подставляем координаты центра $(-3; 0)$ и радиус $R=2$ в общее уравнение окружности:$(x - (-3))^2 + (y - 0)^2 = 2^2$$(x + 3)^2 + y^2 = 4$
Ответ: Координаты центра: $(-3; 0)$, радиус: $2$. Уравнение: $(x + 3)^2 + y^2 = 4$.

г) Окружность проходит через три точки: $(0; 0)$, $(4; 0)$ и $(0; 6)$. Центр окружности $(x_0; y_0)$ равноудален от всех точек на ней. Найдем центр как точку пересечения серединных перпендикуляров к хордам.Хорда на оси $x$ соединяет точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$. Ее середина имеет координаты $(\frac{0+4}{2}; \frac{0+0}{2}) = (2; 0)$. Серединный перпендикуляр к этой хорде — вертикальная прямая $x = 2$. Значит, $x_0 = 2$.Хорда на оси $y$ соединяет точки $(0; 0)$ и $(0; 6)$. Ее середина имеет координаты $(\frac{0+0}{2}; \frac{0+6}{2}) = (0; 3)$. Серединный перпендикуляр к этой хорде — горизонтальная прямая $y = 3$. Значит, $y_0 = 3$.Таким образом, центр окружности имеет координаты $(2; 3)$.Радиус $R$ — это расстояние от центра $(2; 3)$ до любой точки на окружности, например, до $(0; 0)$.$R^2 = (2 - 0)^2 + (3 - 0)^2 = 4 + 9 = 13$.Подставляем координаты центра $(2; 3)$ и $R^2=13$ в общее уравнение окружности:$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$
Ответ: Координаты центра: $(2; 3)$, радиус: $\sqrt{13}$. Уравнение: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$.