Номер 1, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют уравнением фигуры, заданной на плоскости $xy$?

1. Уравнением фигуры $F$, заданной на плоскости $xy$, называется уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, которое обращается в верное числовое равенство тогда и только тогда, когда точка с координатами $(x, y)$ принадлежит этой фигуре.

Более развернуто, это означает, что должны одновременно выполняться два условия:
1) Координаты любой точки, принадлежащей фигуре $F$, удовлетворяют этому уравнению. То есть, если точка $M(x_0; y_0)$ лежит на фигуре $F$, то подстановка её координат $x=x_0$ и $y=y_0$ в уравнение приводит к верному равенству.
2) Координаты любой точки, не принадлежащей фигуре $F$, не удовлетворяют этому уравнению. То есть, если точка $N(x_1; y_1)$ не лежит на фигуре $F$, то подстановка её координат $x=x_1$ и $y=y_1$ в уравнение приводит к неверному равенству.

Например, рассмотрим уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R$: $x^2 + y^2 = R^2$. Любая точка на этой окружности удалена от центра на расстояние $R$, и её координаты $(x, y)$ удовлетворяют данному уравнению. Любая другая точка, не лежащая на окружности, находится на расстоянии, отличном от $R$, поэтому для её координат выполняется неравенство $x^2 + y^2 \neq R^2$. Таким образом, $x^2 + y^2 = R^2$ является уравнением данной окружности.

В сущности, уравнение фигуры является её алгебраической моделью, которая полностью определяет фигуру как геометрическое место точек. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, и образуют эту фигуру.
Ответ: Уравнением фигуры, заданной на плоскости $xy$, называют уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, которому удовлетворяют координаты каждой точки фигуры и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей ей.