Номер 327, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

327. Определите по уравнению окружности координаты её центра и радиус:

1) $(x - 8)^2 + (y - 3)^2 = 25;$

2) $(x + 5)^2 + y^2 = 9;$

3) $x^2 + y^2 = 7;$

4) $x^2 + (y + 1)^2 = 3.$

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Чтобы определить координаты центра и радиус, необходимо привести данное уравнение к этому стандартному виду.

1) Дано уравнение $(x - 8)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Сравнивая его с общим уравнением окружности, видим, что:

координата центра по оси абсцисс $a = 8$,

координата центра по оси ординат $b = 3$,

квадрат радиуса $R^2 = 25$, следовательно, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.

Таким образом, центр окружности — это точка с координатами $(8; 3)$, а радиус равен 5.

Ответ: центр $(8; 3)$, радиус $R = 5$.

2) Дано уравнение $(x + 5)^2 + y^2 = 9$.

Перепишем это уравнение в стандартном виде: $(x - (-5))^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.

Отсюда находим координаты центра и радиус:

$a = -5$,

$b = 0$,

$R^2 = 9$, следовательно, $R = \sqrt{9} = 3$.

Центр окружности — это точка с координатами $(-5; 0)$, а радиус равен 3.

Ответ: центр $(-5; 0)$, радиус $R = 3$.

3) Дано уравнение $x^2 + y^2 = 7$.

Перепишем это уравнение в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{7})^2$.

Отсюда находим координаты центра и радиус:

$a = 0$,

$b = 0$,

$R^2 = 7$, следовательно, $R = \sqrt{7}$.

Центр окружности находится в начале координат, в точке $(0; 0)$, а радиус равен $\sqrt{7}$.

Ответ: центр $(0; 0)$, радиус $R = \sqrt{7}$.

4) Дано уравнение $x^2 + (y + 1)^2 = 3$.

Перепишем это уравнение в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{3})^2$.

Отсюда находим координаты центра и радиус:

$a = 0$,

$b = -1$,

$R^2 = 3$, следовательно, $R = \sqrt{3}$.

Центр окружности — это точка с координатами $(0; -1)$, а радиус равен $\sqrt{3}$.

Ответ: центр $(0; -1)$, радиус $R = \sqrt{3}$.