Страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют уравнением фигуры, заданной на плоскости $xy$?

1. Уравнением фигуры $F$, заданной на плоскости $xy$, называется уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, которое обращается в верное числовое равенство тогда и только тогда, когда точка с координатами $(x, y)$ принадлежит этой фигуре.

Более развернуто, это означает, что должны одновременно выполняться два условия:
1) Координаты любой точки, принадлежащей фигуре $F$, удовлетворяют этому уравнению. То есть, если точка $M(x_0; y_0)$ лежит на фигуре $F$, то подстановка её координат $x=x_0$ и $y=y_0$ в уравнение приводит к верному равенству.
2) Координаты любой точки, не принадлежащей фигуре $F$, не удовлетворяют этому уравнению. То есть, если точка $N(x_1; y_1)$ не лежит на фигуре $F$, то подстановка её координат $x=x_1$ и $y=y_1$ в уравнение приводит к неверному равенству.

Например, рассмотрим уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R$: $x^2 + y^2 = R^2$. Любая точка на этой окружности удалена от центра на расстояние $R$, и её координаты $(x, y)$ удовлетворяют данному уравнению. Любая другая точка, не лежащая на окружности, находится на расстоянии, отличном от $R$, поэтому для её координат выполняется неравенство $x^2 + y^2 \neq R^2$. Таким образом, $x^2 + y^2 = R^2$ является уравнением данной окружности.

В сущности, уравнение фигуры является её алгебраической моделью, которая полностью определяет фигуру как геометрическое место точек. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, и образуют эту фигуру.
Ответ: Уравнением фигуры, заданной на плоскости $xy$, называют уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, которому удовлетворяют координаты каждой точки фигуры и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей ей.

2. Какой вид имеет уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$?

2. Уравнение окружности выводится из ее геометрического определения. Окружность — это геометрическое место точек на плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром, постоянно и равно радиусу.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $C$ с координатами $(a, b)$ и радиусом $R$. Возьмем любую точку $M$ с координатами $(x, y)$, которая лежит на этой окружности.

Согласно определению, расстояние между точкой $M(x, y)$ и центром $C(a, b)$ должно быть равно радиусу $R$. Расстояние между двумя точками на декартовой плоскости находится по формуле, основанной на теореме Пифагора:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Применив эту формулу к нашим точкам $M$ и $C$, получим:

$d(M, C) = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$

3. Какой вид имеет уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$?

Общее уравнение окружности в декартовой системе координат с центром в точке с координатами $(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Согласно условию задачи, центр окружности находится в начале координат. Координаты начала координат — это точка $O(0, 0)$.
Следовательно, в нашем случае параметры $a$ и $b$ равны нулю: $a=0$ и $b=0$.

Подставим эти значения в общее уравнение окружности:
$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = R^2$

После упрощения получаем искомое уравнение:
$x^2 + y^2 = R^2$

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$.
Ответ: $x^2 + y^2 = R^2$

327. Определите по уравнению окружности координаты её центра и радиус:

1) $(x - 8)^2 + (y - 3)^2 = 25;$

2) $(x + 5)^2 + y^2 = 9;$

3) $x^2 + y^2 = 7;$

4) $x^2 + (y + 1)^2 = 3.$

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Чтобы определить координаты центра и радиус, необходимо привести данное уравнение к этому стандартному виду.

1) Дано уравнение $(x - 8)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Сравнивая его с общим уравнением окружности, видим, что:

координата центра по оси абсцисс $a = 8$,

координата центра по оси ординат $b = 3$,

квадрат радиуса $R^2 = 25$, следовательно, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.

Таким образом, центр окружности — это точка с координатами $(8; 3)$, а радиус равен 5.

Ответ: центр $(8; 3)$, радиус $R = 5$.

2) Дано уравнение $(x + 5)^2 + y^2 = 9$.

Перепишем это уравнение в стандартном виде: $(x - (-5))^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.

Отсюда находим координаты центра и радиус:

$a = -5$,

$b = 0$,

$R^2 = 9$, следовательно, $R = \sqrt{9} = 3$.

Центр окружности — это точка с координатами $(-5; 0)$, а радиус равен 3.

Ответ: центр $(-5; 0)$, радиус $R = 3$.

3) Дано уравнение $x^2 + y^2 = 7$.

Перепишем это уравнение в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{7})^2$.

Отсюда находим координаты центра и радиус:

$a = 0$,

$b = 0$,

$R^2 = 7$, следовательно, $R = \sqrt{7}$.

Центр окружности находится в начале координат, в точке $(0; 0)$, а радиус равен $\sqrt{7}$.

Ответ: центр $(0; 0)$, радиус $R = \sqrt{7}$.

4) Дано уравнение $x^2 + (y + 1)^2 = 3$.

Перепишем это уравнение в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{3})^2$.

Отсюда находим координаты центра и радиус:

$a = 0$,

$b = -1$,

$R^2 = 3$, следовательно, $R = \sqrt{3}$.

Центр окружности — это точка с координатами $(0; -1)$, а радиус равен $\sqrt{3}$.

Ответ: центр $(0; -1)$, радиус $R = \sqrt{3}$.