Страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

318. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $A (5; 9)$, $C (1; -3)$, модули координат точки $B$ равны. Найдите координаты точки $B$.

Пусть координаты искомой точки $B$ равны $(x, y)$.

По условию задачи, модули координат точки $B$ равны, то есть $|x| = |y|$. Это равенство выполняется в двух случаях:

1. $y = x$
2. $y = -x$

Также по условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB=BC$). Это означает, что точка $B$ находится на одинаковом расстоянии от точек $A(5, 9)$ и $C(1, -3)$. Равенство расстояний $AB = BC$ эквивалентно равенству их квадратов $AB^2 = BC^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Для отрезка $AB$ квадрат длины равен:

$AB^2 = (x - 5)^2 + (y - 9)^2$

Для отрезка $BC$ квадрат длины равен:

$BC^2 = (x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = (x - 1)^2 + (y + 3)^2$

Приравняем правые части выражений:

$(x - 5)^2 + (y - 9)^2 = (x - 1)^2 + (y + 3)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и квадрата суммы:

$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 18y + 81) = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9)$

Упростим уравнение, сократив $x^2$ и $y^2$ в обеих частях:

$-10x - 18y + 106 = -2x + 6y + 10$

Соберем все члены с переменными в одной части, а свободные члены — в другой:

$106 - 10 = -2x + 10x + 6y + 18y$

$96 = 8x + 24y$

Разделим обе части уравнения на 8 для упрощения:

$12 = x + 3y$

Теперь у нас есть система уравнений, и мы должны рассмотреть два случая, которые определили в начале.

Случай 1: $y = x$

Подставим $y = x$ в уравнение $x + 3y = 12$:

$x + 3x = 12$

$4x = 12$

$x = 3$

Так как $y = x$, то $y = 3$. Получаем точку $B(3, 3)$.

Проверим, образуют ли точки $A(5, 9)$, $B(3, 3)$ и $C(1, -3)$ треугольник. Для этого найдем наклоны отрезков $AB$ и $BC$.

Наклон $AB$: $k_{AB} = \frac{3 - 9}{3 - 5} = \frac{-6}{-2} = 3$.

Наклон $BC$: $k_{BC} = \frac{-3 - 3}{1 - 3} = \frac{-6}{-2} = 3$.

Поскольку наклоны равны, точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, а значит, не образуют треугольник. Этот случай не является решением задачи.

Случай 2: $y = -x$

Подставим $y = -x$ в уравнение $x + 3y = 12$:

$x + 3(-x) = 12$

$x - 3x = 12$

$-2x = 12$

$x = -6$

Так как $y = -x$, то $y = -(-6) = 6$. Получаем точку $B(-6, 6)$.

Проверим, что эти точки образуют треугольник.

Наклон $AB$: $k_{AB} = \frac{6 - 9}{-6 - 5} = \frac{-3}{-11} = \frac{3}{11}$.

Наклон $BC$: $k_{BC} = \frac{-3 - 6}{1 - (-6)} = \frac{-9}{7}$.

Наклоны не равны, следовательно, точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой и образуют треугольник. Условие $|x| = |-6| = 6$ и $|y| = |6| = 6$ также выполняется. Таким образом, это решение является верным.

Ответ: $(-6; 6)$

319. Найдите координаты всех точек C оси абсцисс таких, что треугольник $ABC$ – равнобедренный и $A (1; 1)$, $B (2; 3)$.

По условию задачи, точка $C$ лежит на оси абсцисс, значит её ордината равна нулю. Обозначим её координаты как $C(x; 0)$. Даны координаты двух других вершин треугольника: $A(1; 1)$ и $B(2; 3)$.

Для того чтобы треугольник $ABC$ был равнобедренным, необходимо, чтобы длины двух его сторон были равны. Для удобства будем сравнивать квадраты длин сторон, вычисленные по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадрат длины стороны $AB$: $AB^2 = (2 - 1)^2 + (3 - 1)^2 = 1^2 + 2^2 = 5$.

Квадрат длины стороны $AC$: $AC^2 = (x - 1)^2 + (0 - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 - 2x + 2$.

Квадрат длины стороны $BC$: $BC^2 = (x - 2)^2 + (0 - 3)^2 = x^2 - 4x + 4 + 9 = x^2 - 4x + 13$.

Рассмотрим три возможных случая равнобедренного треугольника.

Случай 1: $AC = BC$

Если боковые стороны — $AC$ и $BC$, то их квадраты длин равны: $AC^2 = BC^2$.

$x^2 - 2x + 2 = x^2 - 4x + 13$

$4x - 2x = 13 - 2$

$2x = 11$

$x = 5.5$

Координаты точки в этом случае: $(5.5; 0)$.

Ответ: $(5.5; 0)$.

Случай 2: $AB = AC$

Если боковые стороны — $AB$ и $AC$, то их квадраты длин равны: $AB^2 = AC^2$.

$5 = x^2 - 2x + 2$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

В этом случае получаем две возможные точки: $(3; 0)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$, $(-1; 0)$.

Случай 3: $AB = BC$

Если боковые стороны — $AB$ и $BC$, то их квадраты длин равны: $AB^2 = BC^2$.

$5 = x^2 - 4x + 13$

$x^2 - 4x + 8 = 0$

Вычислим дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$. Поскольку дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Ответ: Решений нет.

320. Найдите координаты всех точек $B$ оси ординат таких, что треугольник $ABC$ – прямоугольный и $A(1; 3)$, $C(3; 7)$.

По условию задачи, точка $B$ лежит на оси ординат, следовательно, ее абсцисса равна нулю. Обозначим координаты точки $B$ как $(0; y)$. Координаты точек $A$ и $C$ заданы: $A(1; 3)$ и $C(3; 7)$.

Для того чтобы треугольник $ABC$ был прямоугольным, необходимо, чтобы для его сторон выполнялась теорема Пифагора. Рассмотрим три возможных случая, в зависимости от того, какая из вершин является вершиной прямого угла.

Для начала найдем квадраты длин сторон треугольника $ABC$, выраженные через $y$. Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

$AB^2 = (0-1)^2 + (y-3)^2 = 1 + y^2 - 6y + 9 = y^2 - 6y + 10$

$BC^2 = (0-3)^2 + (y-7)^2 = 9 + y^2 - 14y + 49 = y^2 - 14y + 58$

$AC^2 = (3-1)^2 + (7-3)^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

1. Прямой угол при вершине B ($\angle B = 90^\circ$)

В этом случае гипотенузой является сторона $AC$. Согласно теореме Пифагора, должно выполняться равенство $AB^2 + BC^2 = AC^2$.

Подставим найденные выражения:

$(y^2 - 6y + 10) + (y^2 - 14y + 58) = 20$

$2y^2 - 20y + 68 = 20$

$2y^2 - 20y + 48 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$y^2 - 10y + 24 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 10$, $y_1 \cdot y_2 = 24$. Отсюда $y_1 = 4$ и $y_2 = 6$.

Таким образом, мы получаем две возможные точки для вершины B: $(0; 4)$ и $(0; 6)$.

2. Прямой угол при вершине A ($\angle A = 90^\circ$)

В этом случае гипотенузой является сторона $BC$. По теореме Пифагора, $AB^2 + AC^2 = BC^2$.

Подставим известные значения:

$(y^2 - 6y + 10) + 20 = y^2 - 14y + 58$

$y^2 - 6y + 30 = y^2 - 14y + 58$

Сократим $y^2$ в обеих частях и приведем подобные слагаемые:

$14y - 6y = 58 - 30$

$8y = 28$

$y = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$

Таким образом, мы получаем еще одну возможную точку: $(0; 3.5)$.

3. Прямой угол при вершине C ($\angle C = 90^\circ$)

В этом случае гипотенузой является сторона $AB$. По теореме Пифагора, $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Подставим выражения для длин сторон:

$20 + (y^2 - 14y + 58) = y^2 - 6y + 10$

$y^2 - 14y + 78 = y^2 - 6y + 10$

Сократим $y^2$ и приведем подобные слагаемые:

$78 - 10 = 14y - 6y$

$68 = 8y$

$y = \frac{68}{8} = \frac{17}{2} = 8.5$

Таким образом, мы получаем четвертую возможную точку: $(0; 8.5)$.

Собрав все найденные решения из трех случаев, мы получаем четыре точки на оси ординат, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $(0; 3.5)$, $(0; 4)$, $(0; 6)$, $(0; 8.5)$.

321. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 9$ см, $BC = 3$ см. На гипотенузе $AB$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 1 : 2$. Найдите отрезок $CM$.

Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 9$ см и катет $BC = 3$ см. На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$ такая, что отношение отрезков $AM : MB = 1 : 2$. Необходимо найти длину отрезка $CM$.

1. Найдем длину второго катета $AC$.
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ Подставим известные значения: $AC^2 + 3^2 = 9^2$ $AC^2 + 9 = 81$ $AC^2 = 81 - 9$ $AC^2 = 72$ $AC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

2. Найдем длины отрезков $AM$ и $MB$.
Точка $M$ делит гипотенузу $AB$ в отношении $1:2$. Общая длина гипотенузы $AB = 9$ см. Сумма частей отношения равна $1 + 2 = 3$. Длина одной части составляет $9 / 3 = 3$ см. Следовательно, длины отрезков равны: $AM = 1 \cdot 3 = 3$ см. $MB = 2 \cdot 3 = 6$ см.

3. Найдем длину отрезка $CM$.
Для этого рассмотрим треугольник $BMC$. Мы знаем длины двух его сторон ($BC=3$ см и $MB=6$ см) и можем найти угол между ними, $\angle B$. В исходном прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$: $\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $BMC$ для нахождения стороны $CM$: $CM^2 = BC^2 + MB^2 - 2 \cdot BC \cdot MB \cdot \cos(\angle B)$ Подставим известные значения: $CM^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{3}$ $CM^2 = 9 + 36 - \frac{36}{3}$ $CM^2 = 45 - 12$ $CM^2 = 33$ $CM = \sqrt{33}$ см.

Ответ: $CM = \sqrt{33}$ см.

отметили точку M так, что $DM \cdot MD = 1$. Найдите отрезок CM.

322. Найдите углы ромба, если угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из одной вершины, равен $28^{\circ}$.

Пусть углы ромба равны $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha$ — острый угол, а $\beta$ — тупой угол. Свойства ромба, которые мы будем использовать:
1. Все стороны равны.
2. Противоположные углы равны.
3. Сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.
4. Диагонали являются биссектрисами углов.

Рассмотрим два возможных случая, в зависимости от того, из какой вершины проведены высота и диагональ.

Случай 1: Высота и диагональ проведены из вершины тупого угла.

Пусть ромб называется $ABCD$, и пусть угол при вершине $B$ — тупой ($\angle B = \beta$). Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AD$ и диагональ $BD$.

Поскольку соседний угол $\angle A = \alpha$ является острым, основание высоты $H$ будет лежать на стороне $AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$, поэтому $\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha$.

Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle B$. Следовательно, $\angle ABD = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Так как $\alpha + \beta = 180^\circ$, то $\beta = 180^\circ - \alpha$. Тогда $\angle ABD = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку $\alpha > 0$, то $\frac{\alpha}{2} < \alpha$, и, следовательно, $90^\circ - \frac{\alpha}{2} > 90^\circ - \alpha$. Это означает, что $\angle ABD > \angle ABH$, поэтому высота $BH$ лежит между стороной $AB$ и диагональю $BD$.

Угол между высотой $BH$ и диагональю $BD$ равен $\angle HBD$. По условию $\angle HBD = 28^\circ$.

Мы можем выразить $\angle HBD$ как разность углов $\angle ABD$ и $\angle ABH$:
$\angle HBD = \angle ABD - \angle ABH$
$28^\circ = (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) - (90^\circ - \alpha)$
$28^\circ = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} - 90^\circ + \alpha$
$28^\circ = \frac{\alpha}{2}$
$\alpha = 56^\circ$

Это острый угол ромба. Тупой угол $\beta$ равен:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$.

Этот случай дает нам углы $56^\circ$ и $124^\circ$.

Случай 2: Высота и диагональ проведены из вершины острого угла.

Пусть угол при вершине $A$ — острый ($\angle A = \alpha$). Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к стороне $CD$ и диагональ $AC$.

Поскольку соседний угол $\angle D = \beta$ является тупым, основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $CD$ за точку $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADH$. Угол $\angle ADH$ является внешним углом для угла $\angle D$ ромба, поэтому $\angle ADH = 180^\circ - \beta$. Так как $\alpha + \beta = 180^\circ$, то $\angle ADH = \alpha$.

Сумма острых углов в $\triangle ADH$ равна $90^\circ$, поэтому $\angle DAH = 90^\circ - \angle ADH = 90^\circ - \alpha$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$. Следовательно, $\angle DAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Угол между высотой $AH$ и диагональю $AC$ — это $\angle HAC$. Из расположения точек $H, D, C$ на одной прямой следует, что $\angle HAC = \angle DAH + \angle DAC$.

Подставим известные выражения:
$\angle HAC = (90^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2}$
По условию $\angle HAC = 28^\circ$:
$28^\circ = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
$\frac{\alpha}{2} = 90^\circ - 28^\circ$
$\frac{\alpha}{2} = 62^\circ$
$\alpha = 124^\circ$

Полученный результат ($\alpha = 124^\circ$) противоречит нашему начальному предположению, что $\alpha$ — острый угол. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможным является первый случай.

Ответ: углы ромба равны $56^\circ$ и $124^\circ$.

323. Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ равна 24 см, точка $E$ — середина стороны $BC$. Найдите отрезки, на которые прямая $AE$ делит диагональ $BD$.

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм. Диагональ $BD = 24$ см. Точка $E$ — середина стороны $BC$. Прямая $AE$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle EOB$.

1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$.

2. Углы $\angle AOD$ и $\angle EOB$ равны как вертикальные углы.

3. Углы $\angle OAD$ и $\angle OEB$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AE$.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle EOB$ подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AO}{EO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{EB}$

По свойству параллелограмма, $AD = BC$.

По условию, точка $E$ — середина стороны $BC$, значит, $EB = \frac{1}{2}BC$.

Следовательно, $AD = 2EB$, и отношение $\frac{AD}{EB} = 2$.

Тогда из пропорции сторон получаем:

$\frac{DO}{BO} = 2$, откуда $DO = 2 \cdot BO$.

Диагональ $BD$ состоит из отрезков $BO$ и $DO$, то есть $BD = BO + DO$.

Подставим известные значения и полученное выражение для $DO$:

$24 = BO + 2 \cdot BO$

$24 = 3 \cdot BO$

$BO = \frac{24}{3} = 8$ см.

Теперь найдем длину отрезка $DO$:

$DO = 2 \cdot BO = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Таким образом, прямая $AE$ делит диагональ $BD$ на отрезки длиной 8 см и 16 см.

Ответ: 8 см и 16 см.

324. Точка $A(1; -6)$ – центр окружности, точка $B(10; 6)$ принадлежит этой окружности. Чему равен радиус окружности?

324.

По определению, радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки, лежащей на окружности. В данной задаче нам даны координаты центра окружности — точка $A(1; -6)$, и координаты точки, принадлежащей окружности — точка $B(10; 6)$. Следовательно, чтобы найти радиус $R$, необходимо вычислить расстояние между точками A и B.

Формула для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости выглядит следующим образом:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $A$ и $B$ в эту формулу, где $d$ будет равно радиусу $R$:

$R = \sqrt{(10 - 1)^2 + (6 - (-6))^2}$

Теперь выполним вычисления шаг за шагом:

$R = \sqrt{(9)^2 + (6 + 6)^2}$

$R = \sqrt{9^2 + 12^2}$

$R = \sqrt{81 + 144}$

$R = \sqrt{225}$

$R = 15$

Ответ: 15

325. Отрезок $CD$ – диаметр окружности. Найдите координаты центра окружности и её радиус, если $C (6; -4)$, $D (-2; 10)$.

Координаты центра окружности

Поскольку отрезок $CD$ является диаметром окружности, ее центр $O$ — это середина отрезка $CD$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $C(x_C; y_C)$ и $D(x_D; y_D)$ координаты центра $O(x_O; y_O)$ находятся по формулам:

$x_O = \frac{x_C + x_D}{2}$

$y_O = \frac{y_C + y_D}{2}$

Подставим известные координаты точек $C(6; -4)$ и $D(-2; 10)$:

$x_O = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_O = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, центр окружности находится в точке с координатами $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$.

Радиус окружности

Радиус окружности $R$ — это расстояние от ее центра до любой точки на окружности. Вычислим расстояние от найденного центра $O(2; 3)$ до точки $C(6; -4)$.

Формула для нахождения расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $O$ и $C$ в формулу:

$R = OC = \sqrt{(6 - 2)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$

Также радиус можно найти как половину длины диаметра $CD$:

$CD = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (10 - (-4))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 196} = \sqrt{260}$

$R = \frac{CD}{2} = \frac{\sqrt{260}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 65}}{2} = \frac{2\sqrt{65}}{2} = \sqrt{65}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\sqrt{65}$.

326. Какая фигура на координатной плоскости $xy$ является графиком уравнения:

1) $y = 1;$

2) $y = 3x - 4;$

3) $x = -2;$

4) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0;$

5) $xy = 1;$

6) $y = \sqrt{x}?$

1) Уравнение $y=1$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых ордината (координата $y$) равна 1, а абсцисса (координата $x$) может быть любой. Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, 1)$.
Ответ: прямая, параллельная оси $Ox$.

2) Уравнение $y = 3x - 4$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где $k=3$ – угловой коэффициент, а $b=-4$ – ордината точки пересечения с осью $Oy$. Графиком линейной функции всегда является прямая линия.
Ответ: прямая.

3) Уравнение $x=-2$ задает множество всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) равна -2, а ордината (координата $y$) может быть любой. Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$) и проходящая через точку $(-2, 0)$.
Ответ: прямая, параллельная оси $Oy$.

4) Уравнение $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 0$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным: $(x+2)^2 \ge 0$ и $(y-3)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} (x+2)^2 = 0 \\ (y-3)^2 = 0 \end{cases}$, что эквивалентно $\begin{cases} x+2 = 0 \\ y-3 = 0 \end{cases}$.
Решая систему, получаем $x=-2$ и $y=3$. Таким образом, уравнению удовлетворяет только одна точка с координатами $(-2, 3)$.
Ответ: точка $(-2, 3)$.

5) Уравнение $xy=1$ можно переписать в виде $y = \frac{1}{x}$. Это уравнение задает обратную пропорциональность. Графиком этой функции является гипербола. Она состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных углах. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.
Ответ: гипербола.

6) Уравнение $y = \sqrt{x}$ задает функцию, определенную для всех $x \ge 0$. Поскольку арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то $y \ge 0$. График этой функции представляет собой ветвь параболы. Если возвести обе части уравнения в квадрат, получим $y^2 = x$ (при условии $y \ge 0$). Уравнение $x = y^2$ задает параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси $Ox$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы берем только верхнюю часть этой параболы.
Ответ: ветвь параболы.