Номер 318, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

318. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $A (5; 9)$, $C (1; -3)$, модули координат точки $B$ равны. Найдите координаты точки $B$.

Пусть координаты искомой точки $B$ равны $(x, y)$.

По условию задачи, модули координат точки $B$ равны, то есть $|x| = |y|$. Это равенство выполняется в двух случаях:

1. $y = x$
2. $y = -x$

Также по условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB=BC$). Это означает, что точка $B$ находится на одинаковом расстоянии от точек $A(5, 9)$ и $C(1, -3)$. Равенство расстояний $AB = BC$ эквивалентно равенству их квадратов $AB^2 = BC^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Для отрезка $AB$ квадрат длины равен:

$AB^2 = (x - 5)^2 + (y - 9)^2$

Для отрезка $BC$ квадрат длины равен:

$BC^2 = (x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = (x - 1)^2 + (y + 3)^2$

Приравняем правые части выражений:

$(x - 5)^2 + (y - 9)^2 = (x - 1)^2 + (y + 3)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и квадрата суммы:

$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 18y + 81) = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9)$

Упростим уравнение, сократив $x^2$ и $y^2$ в обеих частях:

$-10x - 18y + 106 = -2x + 6y + 10$

Соберем все члены с переменными в одной части, а свободные члены — в другой:

$106 - 10 = -2x + 10x + 6y + 18y$

$96 = 8x + 24y$

Разделим обе части уравнения на 8 для упрощения:

$12 = x + 3y$

Теперь у нас есть система уравнений, и мы должны рассмотреть два случая, которые определили в начале.

Случай 1: $y = x$

Подставим $y = x$ в уравнение $x + 3y = 12$:

$x + 3x = 12$

$4x = 12$

$x = 3$

Так как $y = x$, то $y = 3$. Получаем точку $B(3, 3)$.

Проверим, образуют ли точки $A(5, 9)$, $B(3, 3)$ и $C(1, -3)$ треугольник. Для этого найдем наклоны отрезков $AB$ и $BC$.

Наклон $AB$: $k_{AB} = \frac{3 - 9}{3 - 5} = \frac{-6}{-2} = 3$.

Наклон $BC$: $k_{BC} = \frac{-3 - 3}{1 - 3} = \frac{-6}{-2} = 3$.

Поскольку наклоны равны, точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, а значит, не образуют треугольник. Этот случай не является решением задачи.

Случай 2: $y = -x$

Подставим $y = -x$ в уравнение $x + 3y = 12$:

$x + 3(-x) = 12$

$x - 3x = 12$

$-2x = 12$

$x = -6$

Так как $y = -x$, то $y = -(-6) = 6$. Получаем точку $B(-6, 6)$.

Проверим, что эти точки образуют треугольник.

Наклон $AB$: $k_{AB} = \frac{6 - 9}{-6 - 5} = \frac{-3}{-11} = \frac{3}{11}$.

Наклон $BC$: $k_{BC} = \frac{-3 - 6}{1 - (-6)} = \frac{-9}{7}$.

Наклоны не равны, следовательно, точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой и образуют треугольник. Условие $|x| = |-6| = 6$ и $|y| = |6| = 6$ также выполняется. Таким образом, это решение является верным.

Ответ: $(-6; 6)$