Номер 316, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

316. Найдите координаты вершины C равностороннего треугольника ABC, если $A (2; -3)$ и $B (-2; 3)$.

Пусть координаты вершины $C$ — $(x, y)$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны: $AB = BC = AC$. Следовательно, квадраты длин сторон также равны: $AB^2 = BC^2 = AC^2$.

1. Найдем квадрат длины стороны $AB$, используя координаты вершин $A(2; -3)$ и $B(-2; 3)$. По формуле квадрата расстояния между двумя точками:
$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = (-2 - 2)^2 + (3 - (-3))^2 = (-4)^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$.

2. Выразим квадраты длин сторон $AC$ и $BC$ через координаты $C(x, y)$:
$AC^2 = (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2$.
$BC^2 = (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2$.

3. Так как $AC^2 = AB^2$ и $BC^2 = AB^2$, мы можем составить систему из двух уравнений:
$\begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 52 \\ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 52 \end{cases}$

4. Раскроем скобки и упростим оба уравнения.
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 52 \implies x^2 - 4x + y^2 + 6y = 39$ (1)
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 52 \implies x^2 + 4x + y^2 - 6y = 39$ (2)

5. Приравняем левые части уравнений (1) и (2), так как их правые части равны 39:
$x^2 - 4x + y^2 + 6y = x^2 + 4x + y^2 - 6y$.
$-4x + 6y = 4x - 6y$.
$12y = 8x$.
$y = \frac{8}{12}x = \frac{2}{3}x$.

6. Подставим найденное соотношение $y = \frac{2}{3}x$ в уравнение (2):
$x^2 + 4x + (\frac{2}{3}x)^2 - 6(\frac{2}{3}x) = 39$.
$x^2 + 4x + \frac{4}{9}x^2 - 4x = 39$.
$x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 39$.
$\frac{13}{9}x^2 = 39$.
$x^2 = \frac{39 \cdot 9}{13} = 3 \cdot 9 = 27$.
$x = \pm\sqrt{27} = \pm3\sqrt{3}$.

7. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$:
При $x_1 = 3\sqrt{3}$, $y_1 = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$. Координаты первой возможной вершины $C_1(3\sqrt{3}; 2\sqrt{3})$.
При $x_2 = -3\sqrt{3}$, $y_2 = \frac{2}{3}(-3\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$. Координаты второй возможной вершины $C_2(-3\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$.

Таким образом, существует два возможных положения для вершины C.
Ответ: $(3\sqrt{3}; 2\sqrt{3})$ и $(-3\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$.