Номер 314, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

314. Точки $D (1; 4)$ и $E (2; 2)$ – середины сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $A$ и $C$, если $B (-3; -1)$.

Пусть искомые координаты вершин треугольника будут $A(x_A; y_A)$ и $C(x_C; y_C)$.По условию задачи даны координаты вершины $B(-3; -1)$, а также координаты точек $D(1; 4)$ и $E(2; 2)$, которые являются серединами сторон $AC$ и $BC$ соответственно.

Координаты $(x_{сер}; y_{сер})$ середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:$x_{сер} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_{сер} = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Сначала найдем координаты вершины $C$, используя тот факт, что точка $E(2; 2)$ является серединой отрезка $BC$. Подставим известные координаты в формулы:
Для координаты x:$x_E = \frac{x_B + x_C}{2} \implies 2 = \frac{-3 + x_C}{2}$$4 = -3 + x_C$$x_C = 7$
Для координаты y:$y_E = \frac{y_B + y_C}{2} \implies 2 = \frac{-1 + y_C}{2}$$4 = -1 + y_C$$y_C = 5$
Таким образом, координаты вершины $C$ — $(7; 5)$.

Теперь найдем координаты вершины $A$, зная, что точка $D(1; 4)$ является серединой отрезка $AC$. Мы уже нашли координаты точки $C(7; 5)$. Подставим известные значения в формулы:
Для координаты x:$x_D = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 1 = \frac{x_A + 7}{2}$$2 = x_A + 7$$x_A = -5$
Для координаты y:$y_D = \frac{y_A + y_C}{2} \implies 4 = \frac{y_A + 5}{2}$$8 = y_A + 5$$y_A = 3$
Таким образом, координаты вершины $A$ — $(-5; 3)$.

Ответ: координаты вершин $A(-5; 3)$ и $C(7; 5)$.