Номер 321, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

321. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 9$ см, $BC = 3$ см. На гипотенузе $AB$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 1 : 2$. Найдите отрезок $CM$.

Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 9$ см и катет $BC = 3$ см. На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$ такая, что отношение отрезков $AM : MB = 1 : 2$. Необходимо найти длину отрезка $CM$.

1. Найдем длину второго катета $AC$.
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ Подставим известные значения: $AC^2 + 3^2 = 9^2$ $AC^2 + 9 = 81$ $AC^2 = 81 - 9$ $AC^2 = 72$ $AC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

2. Найдем длины отрезков $AM$ и $MB$.
Точка $M$ делит гипотенузу $AB$ в отношении $1:2$. Общая длина гипотенузы $AB = 9$ см. Сумма частей отношения равна $1 + 2 = 3$. Длина одной части составляет $9 / 3 = 3$ см. Следовательно, длины отрезков равны: $AM = 1 \cdot 3 = 3$ см. $MB = 2 \cdot 3 = 6$ см.

3. Найдем длину отрезка $CM$.
Для этого рассмотрим треугольник $BMC$. Мы знаем длины двух его сторон ($BC=3$ см и $MB=6$ см) и можем найти угол между ними, $\angle B$. В исходном прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$: $\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $BMC$ для нахождения стороны $CM$: $CM^2 = BC^2 + MB^2 - 2 \cdot BC \cdot MB \cdot \cos(\angle B)$ Подставим известные значения: $CM^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{3}$ $CM^2 = 9 + 36 - \frac{36}{3}$ $CM^2 = 45 - 12$ $CM^2 = 33$ $CM = \sqrt{33}$ см.

Ответ: $CM = \sqrt{33}$ см.