Номер 320, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

320. Найдите координаты всех точек $B$ оси ординат таких, что треугольник $ABC$ – прямоугольный и $A(1; 3)$, $C(3; 7)$.

По условию задачи, точка $B$ лежит на оси ординат, следовательно, ее абсцисса равна нулю. Обозначим координаты точки $B$ как $(0; y)$. Координаты точек $A$ и $C$ заданы: $A(1; 3)$ и $C(3; 7)$.

Для того чтобы треугольник $ABC$ был прямоугольным, необходимо, чтобы для его сторон выполнялась теорема Пифагора. Рассмотрим три возможных случая, в зависимости от того, какая из вершин является вершиной прямого угла.

Для начала найдем квадраты длин сторон треугольника $ABC$, выраженные через $y$. Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

$AB^2 = (0-1)^2 + (y-3)^2 = 1 + y^2 - 6y + 9 = y^2 - 6y + 10$

$BC^2 = (0-3)^2 + (y-7)^2 = 9 + y^2 - 14y + 49 = y^2 - 14y + 58$

$AC^2 = (3-1)^2 + (7-3)^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

1. Прямой угол при вершине B ($\angle B = 90^\circ$)

В этом случае гипотенузой является сторона $AC$. Согласно теореме Пифагора, должно выполняться равенство $AB^2 + BC^2 = AC^2$.

Подставим найденные выражения:

$(y^2 - 6y + 10) + (y^2 - 14y + 58) = 20$

$2y^2 - 20y + 68 = 20$

$2y^2 - 20y + 48 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$y^2 - 10y + 24 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 10$, $y_1 \cdot y_2 = 24$. Отсюда $y_1 = 4$ и $y_2 = 6$.

Таким образом, мы получаем две возможные точки для вершины B: $(0; 4)$ и $(0; 6)$.

2. Прямой угол при вершине A ($\angle A = 90^\circ$)

В этом случае гипотенузой является сторона $BC$. По теореме Пифагора, $AB^2 + AC^2 = BC^2$.

Подставим известные значения:

$(y^2 - 6y + 10) + 20 = y^2 - 14y + 58$

$y^2 - 6y + 30 = y^2 - 14y + 58$

Сократим $y^2$ в обеих частях и приведем подобные слагаемые:

$14y - 6y = 58 - 30$

$8y = 28$

$y = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$

Таким образом, мы получаем еще одну возможную точку: $(0; 3.5)$.

3. Прямой угол при вершине C ($\angle C = 90^\circ$)

В этом случае гипотенузой является сторона $AB$. По теореме Пифагора, $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Подставим выражения для длин сторон:

$20 + (y^2 - 14y + 58) = y^2 - 6y + 10$

$y^2 - 14y + 78 = y^2 - 6y + 10$

Сократим $y^2$ и приведем подобные слагаемые:

$78 - 10 = 14y - 6y$

$68 = 8y$

$y = \frac{68}{8} = \frac{17}{2} = 8.5$

Таким образом, мы получаем четвертую возможную точку: $(0; 8.5)$.

Собрав все найденные решения из трех случаев, мы получаем четыре точки на оси ординат, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $(0; 3.5)$, $(0; 4)$, $(0; 6)$, $(0; 8.5)$.