Номер 319, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

319. Найдите координаты всех точек C оси абсцисс таких, что треугольник $ABC$ – равнобедренный и $A (1; 1)$, $B (2; 3)$.

По условию задачи, точка $C$ лежит на оси абсцисс, значит её ордината равна нулю. Обозначим её координаты как $C(x; 0)$. Даны координаты двух других вершин треугольника: $A(1; 1)$ и $B(2; 3)$.

Для того чтобы треугольник $ABC$ был равнобедренным, необходимо, чтобы длины двух его сторон были равны. Для удобства будем сравнивать квадраты длин сторон, вычисленные по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадрат длины стороны $AB$: $AB^2 = (2 - 1)^2 + (3 - 1)^2 = 1^2 + 2^2 = 5$.

Квадрат длины стороны $AC$: $AC^2 = (x - 1)^2 + (0 - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 - 2x + 2$.

Квадрат длины стороны $BC$: $BC^2 = (x - 2)^2 + (0 - 3)^2 = x^2 - 4x + 4 + 9 = x^2 - 4x + 13$.

Рассмотрим три возможных случая равнобедренного треугольника.

Случай 1: $AC = BC$

Если боковые стороны — $AC$ и $BC$, то их квадраты длин равны: $AC^2 = BC^2$.

$x^2 - 2x + 2 = x^2 - 4x + 13$

$4x - 2x = 13 - 2$

$2x = 11$

$x = 5.5$

Координаты точки в этом случае: $(5.5; 0)$.

Ответ: $(5.5; 0)$.

Случай 2: $AB = AC$

Если боковые стороны — $AB$ и $AC$, то их квадраты длин равны: $AB^2 = AC^2$.

$5 = x^2 - 2x + 2$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

В этом случае получаем две возможные точки: $(3; 0)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$, $(-1; 0)$.

Случай 3: $AB = BC$

Если боковые стороны — $AB$ и $BC$, то их квадраты длин равны: $AB^2 = BC^2$.

$5 = x^2 - 4x + 13$

$x^2 - 4x + 8 = 0$

Вычислим дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$. Поскольку дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Ответ: Решений нет.