Номер 326, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка. Глава 3. Декартовы координаты - номер 326, страница 79.

Условие.

326. Какая фигура на координатной плоскости $xy$ является графиком уравнения:

1) $y = 1;$

2) $y = 3x - 4;$

3) $x = -2;$

4) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0;$

5) $xy = 1;$

6) $y = \sqrt{x}?$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 6.

1) Уравнение $y=1$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых ордината (координата $y$) равна 1, а абсцисса (координата $x$) может быть любой. Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, 1)$.
Ответ: прямая, параллельная оси $Ox$.

2) Уравнение $y = 3x - 4$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где $k=3$ – угловой коэффициент, а $b=-4$ – ордината точки пересечения с осью $Oy$. Графиком линейной функции всегда является прямая линия.
Ответ: прямая.

3) Уравнение $x=-2$ задает множество всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) равна -2, а ордината (координата $y$) может быть любой. Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$) и проходящая через точку $(-2, 0)$.
Ответ: прямая, параллельная оси $Oy$.

4) Уравнение $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 0$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным: $(x+2)^2 \ge 0$ и $(y-3)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} (x+2)^2 = 0 \\ (y-3)^2 = 0 \end{cases}$, что эквивалентно $\begin{cases} x+2 = 0 \\ y-3 = 0 \end{cases}$.
Решая систему, получаем $x=-2$ и $y=3$. Таким образом, уравнению удовлетворяет только одна точка с координатами $(-2, 3)$.
Ответ: точка $(-2, 3)$.

5) Уравнение $xy=1$ можно переписать в виде $y = \frac{1}{x}$. Это уравнение задает обратную пропорциональность. Графиком этой функции является гипербола. Она состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных углах. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.
Ответ: гипербола.

6) Уравнение $y = \sqrt{x}$ задает функцию, определенную для всех $x \ge 0$. Поскольку арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то $y \ge 0$. График этой функции представляет собой ветвь параболы. Если возвести обе части уравнения в квадрат, получим $y^2 = x$ (при условии $y \ge 0$). Уравнение $x = y^2$ задает параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси $Ox$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы берем только верхнюю часть этой параболы.
Ответ: ветвь параболы.