Номер 325, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

325. Отрезок $CD$ – диаметр окружности. Найдите координаты центра окружности и её радиус, если $C (6; -4)$, $D (-2; 10)$.

Координаты центра окружности

Поскольку отрезок $CD$ является диаметром окружности, ее центр $O$ — это середина отрезка $CD$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $C(x_C; y_C)$ и $D(x_D; y_D)$ координаты центра $O(x_O; y_O)$ находятся по формулам:

$x_O = \frac{x_C + x_D}{2}$

$y_O = \frac{y_C + y_D}{2}$

Подставим известные координаты точек $C(6; -4)$ и $D(-2; 10)$:

$x_O = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_O = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, центр окружности находится в точке с координатами $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$.

Радиус окружности

Радиус окружности $R$ — это расстояние от ее центра до любой точки на окружности. Вычислим расстояние от найденного центра $O(2; 3)$ до точки $C(6; -4)$.

Формула для нахождения расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $O$ и $C$ в формулу:

$R = OC = \sqrt{(6 - 2)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$

Также радиус можно найти как половину длины диаметра $CD$:

$CD = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (10 - (-4))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 196} = \sqrt{260}$

$R = \frac{CD}{2} = \frac{\sqrt{260}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 65}}{2} = \frac{2\sqrt{65}}{2} = \sqrt{65}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\sqrt{65}$.