Номер 323, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

323. Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ равна 24 см, точка $E$ — середина стороны $BC$. Найдите отрезки, на которые прямая $AE$ делит диагональ $BD$.

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм. Диагональ $BD = 24$ см. Точка $E$ — середина стороны $BC$. Прямая $AE$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle EOB$.

1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$.

2. Углы $\angle AOD$ и $\angle EOB$ равны как вертикальные углы.

3. Углы $\angle OAD$ и $\angle OEB$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AE$.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle EOB$ подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AO}{EO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{EB}$

По свойству параллелограмма, $AD = BC$.

По условию, точка $E$ — середина стороны $BC$, значит, $EB = \frac{1}{2}BC$.

Следовательно, $AD = 2EB$, и отношение $\frac{AD}{EB} = 2$.

Тогда из пропорции сторон получаем:

$\frac{DO}{BO} = 2$, откуда $DO = 2 \cdot BO$.

Диагональ $BD$ состоит из отрезков $BO$ и $DO$, то есть $BD = BO + DO$.

Подставим известные значения и полученное выражение для $DO$:

$24 = BO + 2 \cdot BO$

$24 = 3 \cdot BO$

$BO = \frac{24}{3} = 8$ см.

Теперь найдем длину отрезка $DO$:

$DO = 2 \cdot BO = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Таким образом, прямая $AE$ делит диагональ $BD$ на отрезки длиной 8 см и 16 см.

Ответ: 8 см и 16 см.