Номер 322, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

отметили точку M так, что $DM \cdot MD = 1$. Найдите отрезок CM.

322. Найдите углы ромба, если угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из одной вершины, равен $28^{\circ}$.

Пусть углы ромба равны $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha$ — острый угол, а $\beta$ — тупой угол. Свойства ромба, которые мы будем использовать:
1. Все стороны равны.
2. Противоположные углы равны.
3. Сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.
4. Диагонали являются биссектрисами углов.

Рассмотрим два возможных случая, в зависимости от того, из какой вершины проведены высота и диагональ.

Случай 1: Высота и диагональ проведены из вершины тупого угла.

Пусть ромб называется $ABCD$, и пусть угол при вершине $B$ — тупой ($\angle B = \beta$). Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AD$ и диагональ $BD$.

Поскольку соседний угол $\angle A = \alpha$ является острым, основание высоты $H$ будет лежать на стороне $AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$, поэтому $\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha$.

Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle B$. Следовательно, $\angle ABD = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Так как $\alpha + \beta = 180^\circ$, то $\beta = 180^\circ - \alpha$. Тогда $\angle ABD = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку $\alpha > 0$, то $\frac{\alpha}{2} < \alpha$, и, следовательно, $90^\circ - \frac{\alpha}{2} > 90^\circ - \alpha$. Это означает, что $\angle ABD > \angle ABH$, поэтому высота $BH$ лежит между стороной $AB$ и диагональю $BD$.

Угол между высотой $BH$ и диагональю $BD$ равен $\angle HBD$. По условию $\angle HBD = 28^\circ$.

Мы можем выразить $\angle HBD$ как разность углов $\angle ABD$ и $\angle ABH$:
$\angle HBD = \angle ABD - \angle ABH$
$28^\circ = (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) - (90^\circ - \alpha)$
$28^\circ = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} - 90^\circ + \alpha$
$28^\circ = \frac{\alpha}{2}$
$\alpha = 56^\circ$

Это острый угол ромба. Тупой угол $\beta$ равен:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$.

Этот случай дает нам углы $56^\circ$ и $124^\circ$.

Случай 2: Высота и диагональ проведены из вершины острого угла.

Пусть угол при вершине $A$ — острый ($\angle A = \alpha$). Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к стороне $CD$ и диагональ $AC$.

Поскольку соседний угол $\angle D = \beta$ является тупым, основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $CD$ за точку $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADH$. Угол $\angle ADH$ является внешним углом для угла $\angle D$ ромба, поэтому $\angle ADH = 180^\circ - \beta$. Так как $\alpha + \beta = 180^\circ$, то $\angle ADH = \alpha$.

Сумма острых углов в $\triangle ADH$ равна $90^\circ$, поэтому $\angle DAH = 90^\circ - \angle ADH = 90^\circ - \alpha$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$. Следовательно, $\angle DAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Угол между высотой $AH$ и диагональю $AC$ — это $\angle HAC$. Из расположения точек $H, D, C$ на одной прямой следует, что $\angle HAC = \angle DAH + \angle DAC$.

Подставим известные выражения:
$\angle HAC = (90^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2}$
По условию $\angle HAC = 28^\circ$:
$28^\circ = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
$\frac{\alpha}{2} = 90^\circ - 28^\circ$
$\frac{\alpha}{2} = 62^\circ$
$\alpha = 124^\circ$

Полученный результат ($\alpha = 124^\circ$) противоречит нашему начальному предположению, что $\alpha$ — острый угол. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможным является первый случай.

Ответ: углы ромба равны $56^\circ$ и $124^\circ$.